A characterization of Eisenstein polynomials generating extensions of degree $p^2$ and cyclic of degree $p^3$ over an unramified $𝔭$-adic field

Monge, Maurizio

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 1, pp. 201-231.

Soit $p\ne 2$ un nombre premier. Nous obtenons une technique basée sur la théorie du corps de classes local et sur les développements de certains résultants qui permet de retrouver très facilement la caractérisation de Lbekkouri des polynômes d’Eisenstein qui génèrent une extension cyclique totalement ramifiée de degré $p^2$ sur ${\mathbb{Q}}_p$, et de l’étendre au cas de corps de base $K$ qui est une extension non ramifiée de ${\mathbb{Q}}_p$.

Quand un polynôme satisfait un sous-ensemble de ces conditions, la première condition insatisfaite caractérise le groupe de Galois de la clôture normale. Nous obtenons une classification complète des polynômes d’Eisenstein de degré $p^2$ dont le corps de décomposition est une $p$-extension, fournissant une description complète du groupe de Galois et de ses sous-groupes de ramification.

Les mêmes méthodes sont utilisées pour donner une caractérisation des polynômes d’Eisenstein de degré $p^3$ qui génèrent une extension cyclique.

Dans la dernière section, on en déduit une interprétation combinatoire des fonctions symétriques monômiales évaluées aux racines de l’unité, qui apparaissent dans certains développements.

Let $p\ne 2$ be a prime. We derive a technique based on local class field theory and on the expansions of certain resultants allowing to recover very easily Lbekkouri’s characterization of Eisenstein polynomials generating cyclic wild extensions of degree $p^2$ over ${\mathbb{Q}}_p$, and extend it to when the base fields $K$ is an unramified extension of ${\mathbb{Q}}_p$.

When a polynomial satisfies a subset of such conditions the first unsatisfied condition characterizes the Galois group of the normal closure. We derive a complete classification of Eisenstein polynomials of degree $p^2$ whose splitting field is a $p$-extension, providing a full description of the Galois group and its higher ramification subgroups.

The same methods are used to give a characterization of Eisenstein polynomials of degree $p^3$ generating a cyclic extension.

In the last section, we deduce a combinatorial interpretation of monomial symmetric functions evaluated in the roots of the unity, which appear in certain expansions.

Classification : 11S05, 11S15

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