Propriétés combinatoires et prolongement analytique effectif de polyzêtas de Hurwitz et de leurs homologues

Enjalbert, Jean-Yves; Hoang Ngoc Minh

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 2, pp. 353-386.

Dans ce travail nous nous intéressons à l’étude d’une famille de séries paramétrées de Dirichlet qui englobe les polyzêtas colorés d’une part et les polyzêtas de Hurwitz d’autre part. Cette famille de fonctions vérifie deux relations de mélange ; nous mentionnons aussi des relations quasi-périodiques et des relations de translation de variables. Nous donnons un codage en terme d’intégrales itérées des séries étudiées, qui conduit à leur représentation intégrale. Celle-ci permet d’en effectuer un prolongement mérophorme sur ${ℂ}^r$. Nous finissons par la description d’un algorithme calculant les multi-résidus de ce prolongement.

In this work, we study a family of Parametrized Dirichlet generating series which contains coloured polyzeta and Hurwitz polyzeta functions. This family verifies two shuffle relations; and we also include quasi-periodic relations and translational variable relations. Thanks to encoding with iterated integral, we obtain an integral representation of this series and deduce their analytic continuation over ${ℂ}^r$. At the end, we describe an algorithm giving the residues of this continuation.

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