Borne polynomiale pour le nombre de points rationnels des courbes

Rémond, Gaël

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 23 (2011) no. 1, pp. 251-255.

Soit $F$ un polynôme en deux variables, de degré $D$ et à coefficients entiers dans $[-M,M]$ pour $M\ge 3$. Alors le nombre de zéros rationnels de $F$ est soit infini soit plus petit que $M^{2^{3^{D^2}}}$. Nous montrons aussi une version plus générale sur les corps de nombres.

Let $F$ be a polynomial in two variables with integer coefficients, $D$ its degree and $M\ge 3$ an upper bound for the absolute value of its coefficients. Then the number of rational zeroes of $F$ is either infinite or less than $M^{2^{3^{D^2}}}$, a polynomial bound in $M$. We also give a more general statement for number fields. The proof is a variation on an earlier result together with an easy counting lemma for rational points.

[DP] S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abéliennes. Comment. Math. Helv. 77 (2002), 639–700. | MR | Zbl

[R1] G. Rémond, Décompte dans une conjecture de Lang. Invent. math. 142 (2000), 513–545. | MR | Zbl

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