Poids de l’inertie modérée de certaines représentations cristallines

Caruso, Xavier; Savitt, David

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 1, pp. 79-96.

Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de [5] qui a pour objet d’expliciter l’action de l’inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo $p$ d’une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines $V$ du groupe de Galois absolu d’un corps $p$-adique $K$. Lorsque $K$ n’est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu’elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge-Tate de $V$, au moins si ceux-ci appartiennent à un même intervalle d’amplitude $p-2$. Les exemples que l’on calcule dans cet article montrent en particulier que le résultat simple de Fontaine et Laffaille ne s’étend pas au cas absolument ramifié.

Tame inertia weights of certain crystalline representations

In this note we give a complete proof of Theorem 4.1 of [5], whose aim is to describe the action of tame inertia on the semi-simplification mod $p$ of a certain (small) family of crystalline representations $V$ of the absolute Galois group of a $p$-adic field $K$. This kind of computation was already accomplished by Fontaine and Laffaille when $K$ is absolutely unramified; in that setting, they proved that the action of tame inertia is completely determined by the Hodge-Tate weights of $V$, provided that those weights all belong to an interval of length $p-2$. The examples considered in this article show in particular that the result of Fontaine-Laffaille is no longer true when $K$ is absolutely ramified.

[1] C. Breuil, Représentations $p$-adiques semi-stables et transversalité de Griffiths. Math. Annalen 307 (1997), 191–224. | MR | Zbl

[2] C. Breuil, Integral $p$-adic Hodge theory. Advanced studies in pure mathematics 36 (2002), 51–80. | MR | Zbl

[3] C. Breuil, A. Mézard, Multiplicités modulaires et représentations de ${\text{GL}}_2\left({\mathbb{Z}}_p\right)$ et de $\text{Gal}({\overline{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$ en $\ell =p$. Duke math. J. 115 (2002), 205–310. | MR | Zbl

[4] X. Caruso, Représentations semi-stables de torsion dans le cas $er<p-1$. J. reine angew. Math. 594 (2006), 35–92. | MR | Zbl

[5] X. Caruso, D. Savitt, Polygones de Hodge, de Newton et de l’inertie modérée des représentations semi-stables. À paraître dans Math. Ann.

[6] J. M. Fontaine, G. Laffaille, Construction de représentations $p$-adiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. 15 (1982), 547–608. | Numdam | MR | Zbl

[7] N. Katz, Slope filtration of $F$-crystals. Astérisque 63 (1979), 113–164. | Numdam | MR | Zbl