Markoff numbers and ambiguous classes

Srinivasan, Anitha

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 3, pp. 757-770.

La conjecture de Markoff dit qu’étant donné un entier positif $c$ il existe au plus un triplet $(a,b,c)$ d’entiers positifs tels que $a\le b\le c$ et satisfaisant l’équation $a^2+b^2+c^2=3abc$. La conjecture est vraie pour $c$ une puissance d’un nombre premier ou deux fois une puissance d’un nombre premier. Nous présentons une preuve élémentaire de ce résultat. Nous montrons également que si, dans le groupe des classes des formes de discriminant $d=9c^2-4$, toute forme ambige dans le genre principal correspond à un diviseur de $3c-2$ alors la conjecture est vraie. Comme conséquence, nous obtenons un critère, en termes de symboles de Legendre des premiers divisant $d$, pour lequel la conjecture est vraie. Nous énonçons également une conjecture pour le corps quadratique $\mathbb{Q}\left(\sqrt{9c^2-4}\right)$ qui est équivalente à la conjecture de Markoff pour $c$.

The Markoff conjecture states that given a positive integer $c$, there is at most one triple $(a,b,c)$ of positive integers with $a\le b\le c$ that satisfies the equation $a^2+b^2+c^2=3abc$. The conjecture is known to be true when $c$ is a prime power or two times a prime power. We present an elementary proof of this result. We also show that if in the class group of forms of discriminant $d=9c^2-4$, every ambiguous form in the principal genus corresponds to a divisor of $3c-2$, then the conjecture is true. As a result, we obtain criteria in terms of the Legendre symbols of primes dividing $d$ under which the conjecture holds. We also state a conjecture for the quadratic field $\mathbb{Q}\left(\sqrt{9c^2-4}\right)$ that is equivalent to the Markoff conjecture for $c$.

[1] A. Baragar, On the unicity conjecture for Markoff numbers. Canad. Math. Bull. 39 (1996), 3–9. | MR | Zbl

[2] E. Bombieri, Continued fractions and the Markoff tree. Expo. Math. 25 (2007), no. 3, 187–213 | MR | Zbl

[3] J. O. Button, The uniqueness of prime Markoff numbers. Bull. London Math. Soc., 58 (1998), 9–17. | MR | Zbl

[4] J. O. Button, Markoff numbers, principal ideals and continued fraction expansions. Journal of Number Theory, 87 (2001), 77–95. | MR | Zbl

[5] J. W. S. Cassels, An introduction to Diophantine approximation. Cambridge University Press, 1957. | MR | Zbl

[6] H. Cohen, A course in computational algebraic number theory. Springer-Verlag, 1993. | MR | Zbl

[7] H. Cohn, Advanced Number Theory. Dover Publications, 1980. | MR | Zbl

[8] M. L. Lang, S. P. Tan, A simple proof of the Markoff conjecture for prime powers. Geom. Dedicata 129 (2007), 15–22. | MR | Zbl

[9] A. A. Markoff, Sur les formes quadratiques binaires indéfinies I. Math. Ann. 15 (1879), 381–409.

[10] R. A. Mollin, Quadratics. CRC press, Boca Raton, 1996. | MR | Zbl

[11] S. Perrine, Sur une généralisation de la théorie de Markoff. Journal of Number Theory 37 (1991), 211–230. | MR | Zbl

[12] S. Perrine, Un arbre de constantes d’approximation analogue à celui de l’équation diophantienne de Markoff. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 10, no. 2, (1998), 321–353. | Numdam | MR | Zbl

[13] P. Ribenboim, My Numbers, My Friends, Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag, 2000. | MR | Zbl

[14] P. Schmutz, Systoles of arithmetic surfaces and the Markoff spectrum. Math. Ann. 305 (1996), no. 1, 191–203. | MR | Zbl

[15] A. Srinivasan, A note on the Markoff conjecture. Biblioteca de la Revista Matemática Iberoamericana, Proceedings of the “Segundas Jornadas de Teoría de Números” (Madrid, 2007), pp. 253–260.

[16] D. Zagier, On the number of Markoff numbers below a given bound. Math. Comp. 39 (1982), 709–723 | MR | Zbl

[17] Y. Zhang, Conguence and uniqueness of certain Markoff numbers. Acta Arith. 128 (2007), no. 3, 295–301. | MR | Zbl

[18] Y. Zhang, An elementary proof of uniqueness of Markoff numbers which are prime powers. Preprint, arXiv:math.NT/0606283 (version 2).