Permuting the partitions of a prime

Vinatier, Stéphane

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 2, pp. 455-465.

Étant donné un nombre premier $p$ impair, on caractérise les partitions $\underline{\ell }$ de $p$ à $p$ parts positives ou nulles ${\ell }_0\ge {\ell }_1\ge ...\ge {\ell }_{p-1}\ge 0$ pour lesquelles il existe des permutations $\sigma ,\tau$ de l’ensemble $\{0,...,p-1\}$ telles que $p$ divise ${\sum }_{i=0}^{p-1}i{\ell }_{\sigma \left(i\right)}$ mais ne divise pas ${\sum }_{i=0}^{p-1}i{\ell }_{\tau \left(i\right)}$. Cela se produit si et seulement si le nombre maximal de parts égales de $\underline{\ell }$ est strictement inférieur à $p-2$. Cette question est apparue en manipulant des sommes de puissances $p$-ièmes de résolvantes, en lien avec un problème de structure galoisienne.

Given an odd prime number $p$, we characterize the partitions $\underline{\ell }$ of $p$ with $p$ non negative parts ${\ell }_0\ge {\ell }_1\ge ...\ge {\ell }_{p-1}\ge 0$ for which there exist permutations $\sigma ,\tau$ of the set $\{0,...,p-1\}$ such that $p$ divides ${\sum }_{i=0}^{p-1}i{\ell }_{\sigma \left(i\right)}$ but does not divide ${\sum }_{i=0}^{p-1}i{\ell }_{\tau \left(i\right)}$. This happens if and only if the maximal number of equal parts of $\underline{\ell }$ is less than $p-2$. The question appeared when dealing with sums of $p$-th powers of resolvents, in order to solve a Galois module structure problem.

Mots clés : Partitions of a prime, sums of resolvents, multinomials.

[A] Andrews G.E., The theory of partitions. Encyclopedia of Mathematics and its applications 2, Addison-Wesley, 1976. | MR | Zbl

[DM] Dixon J.D., Mortimer B., Permutation groups. Graduate Texts in Mathematics 163, Springer-Verlag, New York, 1996. | MR | Zbl

[V] Vinatier S., Galois module structure in wealky ramified $3$-extensions. Acta Arithm. 119 (2005), no. 2, 171–186. | MR | Zbl