Two remarks on the inverse Galois problem for intersective polynomials

Sonn, Jack

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 2, pp. 435-437.

Un polynôme (unitaire) $f\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$ est dit intersectif si la congruence $f\left(x\right)\equiv 0$ mod $m$ a des solutions pour tout entier positif $m$. On dit que $f\left(x\right)$ est non-trivialement intersectif s’il est intersectif et n’a pas de racine rationnelle. L’auteur a prouvé que tout groupe fini $G$, résoluble non cyclique, peut être réalisé comme groupe de Galois sur $\mathbb{Q}$ d’un polynôme non-trivialement intersectif (non cyclique est une condition nécessaire). Notre premiere remarque est l’observation que le résultat correspondant pour les groupes non-résolubles $G$ se ramène au problème de Galois inverse ordinaire pour $G$ sur $\mathbb{Q}$. La seconde remarque concerne la rareté d’exemples explicites de polynômes non-trivialement intersectifs de groupe de Galois donné, et nous donnons le premier exemple connu pour le groupe dihédral d’ordre dix.

A (monic) polynomial $f\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$ is called intersective if the congruence $f\left(x\right)\equiv 0$ mod $m$ has a solution for all positive integers $m$. Call $f\left(x\right)$ nontrivially intersective if it is intersective and has no rational root. It was proved by the author that every finite noncyclic solvable group $G$ can be realized as the Galois group over $\mathbb{Q}$ of a nontrivially intersective polynomial (noncyclic is a necessary condition). Our first remark is the observation that the corresponding result for nonsolvable $G$ reduces to the ordinary inverse Galois problem for $G$ over $\mathbb{Q}$. The second remark has to do with the scarcity of explicit examples of nontrivial intersective polynomials with given Galois group, and gives the first known example for the dihedral group of order ten.

[1] D. Berend and Y. Bilu, Polynomials with roots modulo every integer. Proc. AMS 124 (1996), 1663–1671. | MR | Zbl

[2] R. Brandl, Integer polynomials with roots mod $p$ for all primes $p$. J. Alg. 240 (2001), 822–835. | MR | Zbl

[3] C. Jensen, A. Ledet, and N. Yui, Generic Polynomials. Cambridge Univ. Press, Cambridge-New-York, 2002. | MR | Zbl

[4] J. Sonn, Polynomials with roots in ${\mathbb{Q}}_p$ for all $p$. Proc. AMS 136 (2008), 1955–1960. | MR