Conjugacy classes of series in positive characteristic and Witt vectors.

Jean, Sandrine

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 2, pp. 263-284.

Soit $k$ la clôture algébrique de ${𝔽}_p$ et $K$ le corps local des séries formelles à coefficients dans $k$. Le but de cet article est de décrire l’ensemble ${𝒴}_n$ des classes de conjugaison des séries d’ordre $p^n$ pour la loi de composition. Ce travail concerne les séries formelles réversibles à coefficients dans un corps de caractéristique $p$ qui sont d’ordre $p^n$ pour la loi de composition. Dans le but d’explorer la conjecture de Oort, je donne une description des classes de conjugaison des séries au moyens de vecteurs de Witt de longueur finie. Nous developpons certains outils permettant de constuire une bijection entre un ensemble ${𝒜}_n$ de vecteurs de Witt et un ensemble ${𝒳}_n$ de couples constitués d’une extension $L/K$ cyclique totalement ramifiée de degré $p^n$ et d’un générateur du groupe de Galois. Nous pouvons définir pour chaque élément de ${𝒜}_n$ une suite de sauts de ramification. Nous pouvons également décrire une seconde bijection entre ${𝒴}_n$ et les orbites ${𝒜}_n$ sous une certaine action de groupe. Les sauts de ramification d’une série appartenant à ${𝒴}_n$ peuvent être retrouvés grâce aux composantes du vecteur de Witt correspondant dans ${𝒜}_n$.

Let $k$ be the algebraic closure of ${𝔽}_p$ and $K$ be the local field of formal power series with coefficients in $k$. The aim of this paper is the description of the set ${𝒴}_n$ of conjugacy classes of series of order $p^n$ for the composition law. This work is concerned with the formal power series with coefficients in a field of characteristic $p$ which are invertible and of finite order $p^n$ for the composition law. In order to investigate Oort’s conjecture, I give a description of conjugacy classes of series by means of Witt vectors of finite length. We develop some tools which permit us to construct a bijection between a set ${𝒜}_n$ of Witt vectors and a set ${𝒳}_n$ of pairs constituted by a cyclic totally ramified extension $L/K$ of degree $p^n$ and a generator of its Galois group. We are able to define for any element of ${𝒜}_n$ a sequence of ramification breaks. We also describe another bijection between ${𝒴}_n$ and the orbits of ${𝒜}_n$ under a certain group action. Ramification breaks of a series belonging to ${𝒴}_n$ can be recovered from the components of a corresponding vector in ${𝒜}_n$.

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