On a dynamical Brauer–Manin obstruction

Hsia, Liang-Chung; Silverman, Joseph

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 235-250.

Soient $\varphi :X\to X$ un morphisme d’une variété définie sur un corps de nombres $K$, $V\subset X$ une sous-variété définie sur $K$ et ${𝒪}_{\varphi }\left(P\right)=\{{\varphi }^n\left(P\right):n\ge 0\}$ l’orbite d’un point $P\in X\left(K\right)$. Nous décrivons un principe local-global pour l’intersection $V\cap {𝒪}_{\varphi }\left(P\right)$. Ce principe peut être vu comme l’analogue dynamique de l’obstruction de Brauer–Manin. Nous prouvons que les points rationnels de $V\left(K\right)$ ne sont pas soumis à l’obstruction de Brauer–Manin pour l’application puissance sur ${\mathbb{P}}^2$ dans deux cas : (1) $V$ est la translatée d’un tore. (2) $V$ est une droite and $P$ a une coordonnée prépériodique. Un outil principal des preuves est le théorème classique de Bang–Zsigmondy sur les diviseurs primitifs dans les suites. Nous prouvons également des résultats local-globaux analogues pour les systèmes dynamiques associés aux endomorphismes de variétés abéliennes.

Let $\varphi :X\to X$ be a morphism of a variety defined over a number field $K$, let $V\subset X$ be a $K$-subvariety, and let ${𝒪}_{\varphi }\left(P\right)=\{{\varphi }^n\left(P\right):n\ge 0\}$ be the orbit of a point $P\in X\left(K\right)$. We describe a local-global principle for the intersection $V\cap {𝒪}_{\varphi }\left(P\right)$. This principle may be viewed as a dynamical analog of the Brauer–Manin obstruction. We show that the rational points of $V\left(K\right)$ are Brauer–Manin unobstructed for power maps on ${\mathbb{P}}^2$ in two cases: (1) $V$ is a translate of a torus. (2) $V$ is a line and $P$ has a preperiodic coordinate. A key tool in the proofs is the classical Bang–Zsigmondy theorem on primitive divisors in sequences. We also prove analogous local-global results for dynamical systems associated to endomoprhisms of abelian varieties.

Mots clés : arithmetic dynamical systems, local-global principle, Brauer–Manin obstruction

[1] A. S. Bang, Taltheoretiske Undersogelser. Tidsskrift Mat. 4(5) (1886), 70–80, 130–137.

[2] G. D. Birkhoff and H. S. Vandiver, On the integral divisors of $a^n-b^n$. Ann. of Math. (2) 5(4) (1904), 173–180. | MR

[3] J. Cheon and S. Hahn, The orders of the reductions of a point in the Mordell-Weil group of an elliptic curve. Acta Arith. 88(3) (1999), 219–222. | MR | Zbl

[4] B. Poonen and J. F. Voloch, The Brauer–Manin obstruction for subvarieties of abelian varieties over function fields. Annals of Math., to appear.

[5] L. P. Postnikova and A. Schinzel, Primitive divisors of the expression $a^n-b^n$ in algebraic number fields. Mat. Sb. (N.S.) 75(117) (1968), 171–177. | MR | Zbl

[6] V. Scharaschkin, Local-global problems and the Brauer–Manin obstruction. PhD thesis, University of Michigan, 1999.

[7] A. Schinzel, Primitive divisors of the expression $A^n-B^n$ in algebraic number fields. J. Reine Angew. Math. 268/269 (1974), 27–33. | MR | Zbl

[8] J.-P. Serre, Sur les groupes de congruence des variétés abéliennes. II. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35 (1971), 731–737. | MR | Zbl

[9] J. H. Silverman, Wieferich’s criterion and the $abc$-conjecture. J. Number Theory 30(2) (1988), 226–237. | MR | Zbl

[10] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves. Volume 106 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1986. | MR | Zbl

[11] M. Stoll, Finite descent obstructions and rational points on curves. Algebra & Number Theory 1 (2007), 349–391. | MR

[12] S.-W. Zhang, Distributions in algebraic dynamics. In Differential Geometry: A Tribute to Professor S.-S. Chern, Surv. Differ. Geom., Vol. X, pages 381–430. Int. Press, Boston, MA, 2006. | MR

[13] K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste. Monatsh. Math. Phys. 3(1) (1892), 265–284. | MR