Kloosterman sums for prime powers in P-adic fields

Gurak, Stanley J.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 175-201.

Soit $K$ un corps de degré $n$ sur ${\mathbf{Q}}_p$, le corps des nombres $p$-adiques, de degré résiduel $f$, indice de ramification $e$ et valuation de la différente $d$. Soient $O$ l’anneau des entiers de $K$ et $\mathit{P}$ son unique idéal premier. Les applications trace et norme de $K/{\mathbf{Q}}_p$ sont notées $Tr$ et $N$, respectivement. Fixons $q=p^r$, une puissance du nombre premier $p$, et $\eta$ un caractère défini modulo $q$ et d’ordre $o\left(\eta \right)$. Ce caractère $\eta$ s’étend naturellement à l’anneau des entiers $p$-adiques ${\mathbb{Z}}_p$ ; précisément $\eta \left(u\right)=\eta \left(\tilde{u}\right)$, où $\tilde{u}$ désigne la classe résiduelle de $u$ modulo $q$, et de même pour la racine de l’unité ${\zeta }_q^u=exp(2\pi i\tilde{u}/q)$. Fixons un entier positif $\gamma \ge re-d$ pour lequel $N(1+{\mathit{P}}^{\gamma })\subseteq 1+q{\mathbb{Z}}_p$, de sorte que les sommes (todues) de Kloosterman

$$R(\eta ,z)=\sum _{\alpha \in {(O/{\mathit{P}}^{\gamma })}^{*}}\eta \left(N\alpha \right){\zeta }_q^{Tr\alpha +z/N\alpha }(z\in \mathbf{Z}/q{\mathbf{Z}}^{*})$$

sont bien définies.

Saliè a déterminé explicitement $R(\eta ,z)$ dans le cas classique $n=1$ (donc $K={\mathbf{Q}}_p$) pour $q=p^r$ avec $r>1$ et $o\left(\eta \right)=1$ ou $2$. Ici, je généralise le résultat de Saliè dans le cas général $n>1$ pour des caractères $\eta$ avec $o\left(\eta \right)|p-1$ (et aussi $o\left(\eta \right)=2$ quand $p=2$), et pour tout $\gamma \ge re-d>1$ sauf un petit nombre de valeurs exceptionnelles de $r$. Mon évaluation repose sur la détermination récente et explicite par l’auteur des sommes de Gauss pour les puissances de nombres premiers dans les corps $p$-adiques, et des sommes d’exponentielles de la forme $\sum \chi {\left(x\right)}^{ax}{\zeta }_q^{bx}$.

Let $K$ be a field of degree $n$ over ${\mathbf{Q}}_p$, the field of rational $p$-adic numbers, say with residue degree $f$, ramification index $e$ and differential exponent $d$. Let $O$ be the ring of integers of $K$ and $\mathit{P}$ its unique prime ideal. The trace and norm maps for $K/{\mathbf{Q}}_p$ are denoted $Tr$ and $N$, respectively. Fix $q=p^r$, a power of a prime $p$, and let $\eta$ be a numerical character defined modulo $q$ and of order $o\left(\eta \right)$. The character $\eta$ extends to the ring of $p$-adic integers ${\mathbb{Z}}_p$ in the natural way; namely $\eta \left(u\right)=\eta \left(\tilde{u}\right)$, where $\tilde{u}$ denotes the residue class of $u$ modulo $q$, and similarly for the root of unity ${\zeta }_q^u=exp(2\pi i\tilde{u}/q)$. Fix a positive integer $\gamma \ge re-d$ for which $N(1+{\mathit{P}}^{\gamma })\subseteq 1+q{\mathbb{Z}}_p$ so that the (twisted) Kloosterman sums

$$R(\eta ,z)=\sum _{\alpha \in {(O/{\mathit{P}}^{\gamma })}^{*}}\eta \left(N\alpha \right){\zeta }_q^{Tr\alpha +z/N\alpha }(z\in \mathbf{Z}/q{\mathbf{Z}}^{*})$$

are well-defined.

Saliè explicitly determined $R(\eta ,z)$ in the classical case $n=1$ (so $K={\mathbf{Q}}_p$) for $q=p^r$ with $r>1$ and $o\left(\eta \right)=1$ or $2$. Here I generalize Saliè’s result for the general case $n>1$ for characters $\eta$ with $o\left(\eta \right)|p-1$ (also $o\left(\eta \right)=2$ when $p=2$), and for all $\gamma \ge re-d>1$ but for a few small exceptional values $r$. My evaluation relies on the author’s recent explicit determination of Gauss sums for prime powers in $p$-adic fields and exponential sums of the form $\sum \chi {\left(x\right)}^{ax}{\zeta }_q^{bx}$.

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