Sur la 2-cohomologie non abélienne des modèles réguliers des anneaux locaux henséliens

Douai, Jean-Claude

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 1, pp. 119-129.

Soit $A$ un anneau Notherien, local, Henselien, excellent, de corps résiduel $k$, $k$ étant ou algébriquement clos de caractéristique 0 ou un corps fini, $X\to SpecA$ un morphisme propre dont la fibre spéciale $X_0\to SpecA$ est de dimension au plus 1. Dans ce papier, nous complètons les résultats de [1] en montrant que si $X$ est régulier et si $L$ est un $X_{et}$-lien localement représentable par un groupe semi-simple simplement connexe, alors toutes les classes de $H^2(X_{et},L)$ sont neutres. Prenant pour $X$ un modèle régulier de $A$, nous montrons que toutes les classes de $H^2(K,L)$, $K=Frac\left(A\right)$, sont neutres si $dim\left(A\right)=2$ et $k$ algébriquement clos de caractéristique 0. Ceci redonne certains résultats de [2].

Let $A$ be a Notherian, local, Henselien, excellent domain with algbraically closed residue field of caracteristic 0 or finite $k$, $K=Frac\left(A\right)$, $X\to SpecA$ a proper morphism with special fiber $X_0\to Speck$ of dimension at most one. Here we complete the results of [1] showing that if $X$ is regular and if $L$ is a $X_{et}$-lien that is locally representable by a simply connected semi-simple group, then all classes of $H^2(X_{et},L)$ are neutral. Taking for $X$ a regular model of $A$, we show that all classes of $H^2(K,L)$ are neutral if $dim\left(A\right)=2$ and if $k$ is algebraically closed of caracteristic 0. We find again some results of [2].

[1] J.L. Colliot-Thélène, M. Ojanguren and R. Parimala, Quadratic forms over fraction fields of two-dimensional Henselian rings and Brauer groups of related schemes. In Algebra, Arithmetic and Geometry, I, II (Mumbai, 2000), Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. 16 (2002), 185–217. MR 1940669. | MR | Zbl

[2] J.L. Colliot-Thélène, P. Gille and R. Parimala, Arithmetic of linear algebraic groups over 2-dimensional geometric fields. Duke Math. J. 121 (2004), 285–341. | MR | Zbl

[3] J.C. Douai, 2-cohomologie galoisienne des groupes semi-simples. Thèse d’Etat, Université de Lille 1, Lille, France, 1976.

[4] J.C. Douai, Sur la 2-cohomologie galoisienne de la composante résiduellement neutre des groupes réductifs connexes définis sur les corps locaux. C.R. Acad. Sci. Paris, Série I 342 (2006), 813–818. | MR | Zbl

[5] J. Giraud, Cohomologie non abélienne. Grundlheren Math. Wiss. vol. 179, Springer-Verlag, 1971. | MR | Zbl

[6] J.S. Milne, Etale cohomology. Princeton Mathematical Series, vol. 33, Princeton University Press, Princeton, 1980. | MR | Zbl

[7] S.G.A.D., Séminaire de géométrie algébrique 1963-1964. Lecture Notes in Math., 151–153, Springer, 1970.