Local ${\epsilon }_0$-characters in torsion rings

Yasuda, Seidai

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 19 (2007) no. 3, pp. 763-797.

Soit $p$ un nombre premier et $K$ un corps, complet pour une valuation discrète, à corps résiduel de caractéritique positive $p$. Dans le cas où $k$ est fini, généralisant la théorie de Deligne [1], on construit dans [10] et [11] une théorie des ${\epsilon }_0$-constantes locales pour les représentations, sur un anneau local complet à corps résiduel algébriquement clos de caractéristique $\ne p$, du groupe de Weil $W_K$ de $K$. Dans cet article, on généralise les résultats de [10] et [11] au cas où $k$ est un corps arbitraire parfait.

Let $p$ be a rational prime and $K$ a complete discrete valuation field with residue field $k$ of positive characteristic $p$. When $k$ is finite, generalizing the theory of Deligne [1], we construct in [10] and [11] a theory of local ${\epsilon }_0$-constants for representations, over a complete local ring with an algebraically closed residue field of characteristic $\ne p$, of the Weil group $W_K$ of $K$. In this paper, we generalize the results in [10] and [11] to the case where $k$ is an arbitrary perfect field.

[1] P. Deligne, Les constantes des équations fonctionnelles des fonctions $L$, Modular functions in one variable II. Lecture Notes in Math. 349, 501–597. Springer, Berlin, 1973. | MR | Zbl

[2] P. Deligne, Les constantes locales de l’équation fonctionnelle de la fonction $L$ d’Artin d’une représentation orthogonale. Invent. Math. 35 (1976), 299–316. | MR | Zbl

[3] M. Hazewinkel, Corps de classes local, appendix of M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, 648–681. Masson & Cie, Éditeur, Paris; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1970. | MR | Zbl

[4] G. Laumon, Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 65 (1987), 131–210. | Numdam | MR | Zbl

[5] T. Saito, Ramification groups and local constants. UTMS preprint 96-19, University of Tokyo (1996).

[6] J.-P. Serre, Groupes proalgébriques. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 7 (1960), 1–67. | Numdam | MR | Zbl

[7] J.-P. Serre, Zeta and $L$ functions. Arithmetical Algebraic Geometry, 82–92. Harper and Row, New York, 1965. | MR | Zbl

[8] J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis. Hermann, Paris, 1967. | MR | Zbl

[9] J.-P. Serre, Corps locaux. Hermann, Paris, 1968. | MR

[10] S. Yasuda, Local constants in torsion rings. Preprint (2001). | MR

[11] S. Yasuda, The product formula for local constants in torsion rings. Preprint (2001). | MR