Fundamental units in a parametric family of not totally real quintic number fields

Schöpp, Andreas M.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 18 (2006) no. 3, pp. 693-706.

Dans cet article, nous donnons des unités fondamentales pour une famille de corps de nombres engendrés par un polynôme paramétré de degré 5 avec signature $(1,2)$ et groupe de Galois $D_5$.

In this article we compute fundamental units for a family of number fields generated by a parametric polynomial of degree 5 with signature $(1,2)$ and Galois group $D_5$.

[1] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory. (Graduate Texts in Mathematics 138), Springer, 1993. | MR | Zbl

[2] G. Degert, Über die Bestimmung der Grundeinheit gewisser reell-quadratischer Zahlkörper. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 22 (1958), 92–97. | MR | Zbl

[3] G. Frei, Fundamental systems of units in number fields $Q(\sqrt{D^2+d},\sqrt{D^2+4d})$ with $d|D.$ Arch. Math. (Basel) 36.2 (1981), 137–144. | MR | Zbl

[4] K. Geissler, Berechnung von Galoisgruppen über Zahl- und Funktionenkörpern. Thesis TU Berlin (2003).

[5] KANT: http://www.math.tu-berlin.de/~kant

[6] S. Katayama, The $abc$ conjecture, fundamental units and the simultaneous Pell equations. Proc. Jangieon Math. Soc. 1 (2000), 19–26. | MR | Zbl

[7] O. Kihel, Groupe des unités pour des extensions diédrales complexes de degré 10 sur $\mathbb{Q}$. J. Théor. Nombres Bordx. 13.2 (2001), 469–482. | Numdam | MR | Zbl

[8] Y. Kishi, A family of cyclic cubic polynomials whose roots are systems of fundamental units. J. Number Theory 102.1 (2003), 90–106. | MR | Zbl

[9] F. Leprévost, M.E. Pohst, A.M. Schöpp, Familles de polynômes liées aux courbes modulaires $X_0\left(l\right)$ unicursales et points rationnels non-triviaux de courbes elliptiques quotient. Acta Arith. 110.4 (2003), 401–410. | MR | Zbl

[10] F. Leprévost, M.E. Pohst, A.M. Schöpp, Units in some parametric families of quartic fields. To appear in Acta Arithm. (2007). | MR

[11] MAGMA: http://magma.maths.usyd.edu.au

[12] E. Maus, Zur Arithmetik einiger Serien nichtauflösbarer Gleichungen 5. Grades. Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 54 (1984), 227–250. | MR | Zbl

[13] K. Nakamula, Certain Quartic Fields with Small Regulators J. Number Theory 57 (1996), 1–21. | MR | Zbl

[14] N. Obreschkoff, Verteilung und Berechnung der Nullstellen reeller Polynome. (Hochschulbücher für Mathematik 55), Dt. Verlag der Wissenschaften, 1963. | MR | Zbl

[15] M.E. Pohst, H.J. Zassenhaus, Algorithmic algebraic number theory, (Encyclopedia of Mathematics and its applications), Cambridge University Press, 1997. | MR | Zbl

[16] A.M. Schöpp, Über Torsionspunkte elliptischer und hyperelliptischer Kurven nebst Anwendungen. Thesis TU Berlin (2005).

[17] R. Schoof, L.C. Washington, Quintic polynomials and real cyclotomic fields with large class numbers. Math. Comput. 50.182 (1988), 543–556. | MR | Zbl

[18] Y.-Y. Shen, Unit groups and class numbers of real cyclic octic fields. Trans. Am. Math. Soc. 326.1 (1991), 179–209. | MR | Zbl

[19] H.-J. Stender, Einheiten für eine allgemeine Klasse total reeller algebraischer Zahlkörper. J. Reine Angew. Math. 257 (1972), 151–178. | MR | Zbl

[20] H.-J. Stender, Grundeinheiten für einige unendliche Klassen reiner biquadratischer Zahlkörper mit einer Anwendung auf die diophantische Gleichung $x^4-a{y}^4=\pm c$ $(c=1,2,4$ oder $8)$. J. Reine Angew. Math. 264 (1973), 207–220. | MR | Zbl

[21] H.-J. Stender, Eine Formel für Grundeinheiten in reinen algebraischen Zahlkörpern dritten, vierten und sechsten Grades. J. Number Theory 7 (1975), 235–250. | MR | Zbl

[22] H.-J. Stender, ”Verstümmelte” Grundeinheiten für biquadratische und bikubische Zahlkörper. Math. Ann. 232.1 (1978), 55–64. | Zbl

[23] E. Thomas, Fundamental units for orders in certain cubic number fields. J. Reine Angew. Math. 310 (1979), 33–55. | MR | Zbl

[24] K. Wang, X. Zhang, Fundamental unit system and class number for real number field of type (2,2,2). Tsinghua Sci. Technol. 5.2 (2000), 150–153. | MR | Zbl

[25] K. Wang, Fundamental unit systems and class number of real bicyclic biquadratic number fields. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 77.9 (2001), 147–150. | MR | Zbl