On the generalized principal ideal theorem of complex multiplication

Schertz, Reinhard

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 18 (2006) no. 3, pp. 683-691.

Dans le $p^n$-ième corps cyclotomique ${\mathbb{Q}}_{p^n},p$ un nombre premier, $n\in \mathbb{N}$, le premier $p$ est totalement ramifié, l’idéal au dessus de $p$ dans ${\mathbb{Q}}_{p^n}$ étant engendré par ${\omega }_n={\zeta }_{p^n}-1$ avec une racine primitive $p^n$-ième de l’unité ${\zeta }_{p^n}=e^{\frac{2\pi i}{p^n}}$. De plus ces nombres constituent un ensemble qui vérifie la relation de norme ${\mathbf{\text{N}}}_{{\mathbb{Q}}_{p^{n+1}}}{\mathbb{Q}}_{p^n}\left({\omega }_{n+1}\right)={\omega }_n$. Le but de cet article est d’établir un résultat analogue pour les corps de classes de rayon $K_{{𝔭}^n}$ de conducteur ${𝔭}^n$ d’un corps quadratique imaginaire $K$, où ${𝔭}^n$ est une puissance d’un idéal premier dans $K$. Un tel résultat est obtenu en remplaçant la fonction exponentielle par une fonction elliptique convenable.

In the $p^n$-th cyclotomic field ${\mathbb{Q}}_{p^n},p$ a prime number, $n\in \mathbb{N}$, the prime $p$ is totally ramified and the only ideal above $p$ is generated by ${\omega }_n={\zeta }_{p^n}-1$, with the primitive $p^n$-th root of unity ${\zeta }_{p^n}=e^{\frac{2\pi i}{p^n}}$. Moreover these numbers represent a norm coherent set, i.e. ${\mathbf{\text{N}}}_{{\mathbb{Q}}_{p^{n+1}}}/{\mathbb{Q}}_{p^n}\left({\omega }_{n+1}\right)={\omega }_n$. It is the aim of this article to establish a similar result for the ray class field $K_{{𝔭}^n}$ of conductor ${𝔭}^n$ over an imaginary quadratic number field $K$ where ${𝔭}^n$ is the power of a prime ideal in $K$. Therefore the exponential function has to be replaced by a suitable elliptic function.

[B-Sch] S. Bettner, R. Schertz, Lower powers of elliptic units. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 13 (2001), 339–351. | Numdam | MR | Zbl

[Sch1] R. Schertz, Konstruktion von Potenzganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über imaginär-quadratischen Zahlkörpern. J. Reine Angew. Math. 398 (1989), 105–129. | MR | Zbl

[Sch2] R. Schertz, Zur expliziten Berechnung von Ganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über einem imaginär-quadratischen Zahlkörper. Journal of Number Theory, Vol. 34 No. 1 (1990). | MR | Zbl

[Sch3] R. Schertz, An Elliptic Resolvent. Journal of Number Theory, Vol. 77 (1999), 97–121. | MR | Zbl