Sur les corps de Hilbert-Speiser

Herreng, Thomas

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 3, pp. 767-778.

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$. On trouve par exemple que $\mathbb{Q}\left(\sqrt{p}\right)$ est de Hilbert-Speiser en $p=2$ si et seulement si son nombre de classes est un. On généralise ensuite un article de Conrad et Replogle [1], ce qui nous donne des premiers $p$ pour lesquels un corps abélien imaginaire n’est pas de Hilbert-Speiser en $p$ et on donne également une condition quand le corps est réel.

A number field is called a Hilbert-Speiser field for a prime number $p$ if each tamely ramified finite abelian extension of degree $p$ admits a normal integral basis. A number field is called a Hilbert-Speiser field if it’s Hilbert-Speiser for all primes $p$. It’s well known that $\mathbb{Q}$ is such a field. In an article [3] written in 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav showed that $\mathbb{Q}$ is the only Hilbert-Speiser field. We give here a necessary and sufficient condition for a field to be Hilbert-Speiser for $p=2$. For example $\mathbb{Q}\left(\sqrt{p}\right)$ is a Hilbert-Speiser field for $p=2$ if and only if its class number is one. Then generalizing works of Conrad and Replogle [1] we obtain prime numbers $p$ for which an imaginary abelian field is a Hilbert-Speiser field for $p$, and we also give a criterion for real abelian fields.

[1] M. Conrad, D. R. Replogle, Nontrivial Galois Module Structure of cycloyomic Fields. Mathematic of computation 72 (2003), no. 242, 891–899. | MR | Zbl

[2] A. Fröhlich, M. J. Taylor, Algebraic Number Theory. Cambridge University Press, 1991. | Zbl

[3] C. Greither, D. R. Replogle, K. Rubin, A. Srivastav, Swan Modules and Hilbert-Speiser number fields. J. of Number theory 79 (1999), 164–173. | MR | Zbl

[4] L. R. McCulloh, A Stickelberger condition on Galois module structure for Kummer extensions of prime degree. Dans Algebraic Number Fields Proceedings of the Durham Symposium 1975, Academic press, London, 1977. | MR | Zbl

[5] H. B. Mann, On integral Basis. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 119–149. | MR | Zbl

[6] L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields. Springer-Verlag, New-York, 1982. | MR | Zbl