Obstructions aux déformations de représentations galoisiennes réductibles et groupes de classes

Mézard, Ariane

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 2, pp. 607-618.

Nous développons une nouvelle stratégie pour comprendre la nature des obstructions aux déformations d’une représentation galoisienne globale $\overline{\rho }$ réductible, impaire de dimension 2. Ces obstructions s’interprètent en termes de groupe de Šafarevič. D’après [BöMé], elles sont reliées à des conjecture arithmétiques classiques (Conjecture de Vandiver, conjecture de Greenberg). Dans cet article, nous introduisons un autre groupe de Šafarevič associé au corps $L$ fixe par $ker\overline{\rho }$. Nous comparons les deux groupes en prenant les co-invaraints par Im$\overline{\rho }$. Cette stratégie conduit à de nouvelles conditions d’annulation des obstructions en termes de groupes des classes de $L$.

In this paper, we develop a new strategy to understand the obstructions to deformations of reducible odd 2-dimensional global Galois representations $\overline{\rho }$. It is known that these obstructions are localized in a Šafarevič group. After [BöMé] these obstructions are related with several classical conjectures (Vandiver’s conjecture, Greenberg’s conjecture). The idea of this note is to introduce another Šafarevič group depending on the field $L$ fixed by $ker\overline{\rho }$. We then compare the two groups by taking the co-invariant by $Im\overline{\rho }$. This strategy yields new conditions for the vanishing of the obstructions in terms of class groups of $L$.

Mots clés : Anneau de déformation versel, groupe de classes, groupe de Šafarevič.

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