Binary quadratic forms and Eichler orders

Alsina, Montserrat

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 17 (2005) no. 1, pp. 13-23.

Pour tout ordre d’Eichler $𝒪(D,N)$ de niveau $N$ dans une algèbre de quaternions indéfinie de discriminant $D$, il existe un groupe Fuchsien $\Gamma (D,N)\subseteq SL(2,ℝ)$ et une courbe de Shimura $X(D,N)$. Nous associons à $𝒪(D,N)$ un ensemble $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$ de formes quadratiques binaires ayant des coefficients semi-entiers quadratiques et developpons une classification des formes quadratiques primitives de $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$ pour rapport à $\Gamma (D,N)$. En particulier nous retrouvons la classification des formes quadratiques primitives et entières de $SL(2,\mathbb{Z})$. Un domaine fondamental explicite pour $\Gamma (D,N)$ permet de caractériser les $\Gamma (D,N)$ formes réduites.

For any Eichler order $𝒪(D,N)$ of level $N$ in an indefinite quaternion algebra of discriminant $D$ there is a Fuchsian group $\Gamma (D,N)\subseteq SL(2,ℝ)$ and a Shimura curve $X(D,N)$. We associate to $𝒪(D,N)$ a set $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$ of binary quadratic forms which have semi-integer quadratic coefficients, and we develop a classification theory, with respect to $\Gamma (D,N)$, for primitive forms contained in $\mathscr{H}\left(𝒪\right(D,N\left)\right)$. In particular, the classification theory of primitive integral binary quadratic forms by $SL(2,\mathbb{Z})$ is recovered. Explicit fundamental domains for $\Gamma (D,N)$ allow the characterization of the $\Gamma (D,N)$-reduced forms.

[AAB01] M. Alsina, A. Arenas, P. Bayer (eds.), Corbes de Shimura i aplicacions. STNB, Barcelona, 2001.

[AB04] M. Alsina, P. Bayer, Quaternion orders, quadratic forms and Shimura curves. CRM Monograph Series, vol. 22, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004. | MR | Zbl

[Als00] M. Alsina, Dominios fundamentales modulares. Rev. R. Acad. Cienc. Exact. Fis. Nat. 94 (2000), no. 3, 309–322. | MR | Zbl

[Eic55] M. Eichler, Zur Zahlentheorie der Quaternionen-Algebren. J. reine angew. Math. 195 (1955), 127–151. | MR | Zbl

[Ogg83] A. P. Ogg, Real points on Shimura curves. Arithmetic and geometry, Vol. I, Progr. Math., vol. 35, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1983, pp. 277–307. | MR | Zbl

[Shi67] G. Shimura, Construction of class fields and zeta functions of algebraic curves. Annals of Math. 85 (1967), 58–159. | MR | Zbl

[Vig80] M.F. Vigneras, Arithmétique des algèbres de quaternions. Lecture Notes in Math., no. 800, Springer, 1980. | MR | Zbl