Nombres de Bell et somme de factorielles

Barsky, Daniel; Benzaghou, Bénali

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 1, pp. 1-17.

Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, $p$, la somme ${\sum }_{n=0}^{p-1}n!$ n’est pas divisible par $p$. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du $n$-ième nombre de Bell modulo $p$ comme la trace de la puissance $n$-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré $p$ du corps premier à $p$ éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire.

Dj. Kurepa has conjectured that for any odd prime number $p$, the sum ${\sum }_{n=0}^{p-1}n!$ is not divisible by $p$. This sum is related to the Bell numbers that occur in enumerative combinatorics. We give a formula for the $n$-th Bell number modulo $p$ as the trace of the $n$-th power of a fixed element in the Artin-Schreier extension of degree $p$ of the field with $p$ elements. This formula allows us to prove the Kurepa’s conjecture by reducing it to a linear algebra problem.

[1] D. Barsky, Analyse $p$-adique et nombres de Bell. C. R. Acad Sc. Paris série A, 282 (1976), 1257–1259 & Groupe d’Étude d’Analyse Ultramétrique. (Y. Amice, Ph. Robba), 3-ième année, 1975/76, exposé n${}^{\circ }$11. | Numdam | MR | Zbl

[2] D. Barsky & B. Benzaghou, Congruences pour les nombres de Bell, préprint, (1992).

[3] L. Comtet, Analyse Combinatoire. PUF, Collection Sup le mathématicien, Paris, 1970. | Zbl

[4] A. Gertsch Hamadene, Congruences pour quelques suites classiques de nombres ; sommes de factorielles et calcul ombral. Thèse présentée à la faculté des sciences pour obtenir le grade de docteur ès sciences, Université de Neuchâtel, février 1999.

[5] A. Gertsch & A. Robert, Some congruences concerning the Bell numbers. Bulletin of the Belgian Mathematical Society Simon Stevin vol. 3 (1996), 467–475. | MR | Zbl

[6] A. Junod, A Generalized Trace Formula for Bell Numbers. A paraître dans Expositiones Mathematicae. | Zbl

[7] Dj. Kurepa, On the left factorial function $!n$. Math. Balkanica vol. 1 (1971), 147–153. | MR | Zbl

[8] R. Lidl & H. Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications. Revision of the 1986 first edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. | MR | Zbl

[9] Ch. Radoux, Nombres de Bell modulo $p$ premier et extensions de degré $p$ de ${𝔽}_p$. C. R. Acad. Sc. Paris, série A, 281, séance du 24 novembre 1975, 879–882. | MR | Zbl

[10] A. Robert, A course in $p$-adic Analysis. G.T.M. 198, Springer-Verlag, 2000. | MR | Zbl