Points rationnels dans leur fibre : compléments à un théorème de Poonen

Moret-Bailly, Laurent

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 32 (2020) no. 2, pp. 471-488.

Soit $f:X\to S$ un morphisme surjectif et de présentation finie de schémas intègres. Lorsque $S$ est de type fini sur un corps ou sur $\mathbb{Z}$, et de dimension $>0$, Poonen a montré qu’il existe un point $x\in X$ dont le corps résiduel $\kappa \left(x\right)$ est une extension radicielle de $\kappa \left(f\right(x\left)\right)$. Dans ce travail, on prolonge ce résultat de plusieurs façons. D’abord, on peut choisir $x$ tel que $f\left(x\right)$ soit un point de codimension $1$ de $S$ ; si $S$ est lisse sur un corps $k$, on peut exiger que $\kappa \left(f\right(x\left)\right)$ soit séparable sur $k$. Dans une autre direction, on montre des résultats analogues pour d’autres classes de schémas $S$, par exemple les schémas noethériens intègres de dimension $\ge 2$.

Let $f:X\to S$ be a morphism of integral schemes, which is surjective and of finite presentation. When $S$ is of finite type over a field or over $\mathbb{Z}$, of positive dimension, Poonen has shown that there is a point $x\in X$ whose residue field $\kappa \left(x\right)$ is purely inseparable over $\kappa \left(f\right(x\left)\right)$. In this paper, we extend this result in several ways. First we prove that we can take $x$ such that $f\left(x\right)$ is a codimension $1$ point of $S$; if $S$ is smooth over a field $k$, we can require $\kappa \left(f\right(x\left)\right)$ to be separable over $k$. In another direction, we prove that similar results hold for other schemes $S$, such as noetherian integral schemes of dimension $\ge 2$.

Classification : 14A15, 14D99
Mots clés : Corps résiduel ; extension résiduelle ; morphisme de présentation finie

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