Principe de Mazur en dimension supérieure

Boyer, Pascal

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 6 (2019), pp. 203-230.

Le principe de Mazur pour ${\mathrm{GL}}_2$ fournit des conditions simples pour qu’une ${\overline{𝔽}}_{\ell }$-représentation irréductible non ramifiée provenant d’une forme modulaire de niveau ${\Gamma }_0\left(Np\right)$ provienne aussi d’une forme de niveau ${\Gamma }_0\left(N\right)$. L’objectif de ce travail est de proposer une généralisation de ce principe en dimension supérieure pour certaines formes intérieures étendues non quasi-déployées d’un groupe unitaire en étudiant la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura dites de Kottwitz-Harris-Taylor en lien avec la dégénérescence de la monodromie locale.

The Mazur principle for ${\mathrm{GL}}_2$ gives simple conditions for an irreducible unramified ${\overline{𝔽}}_{\ell }$-representation coming from a modular form of level ${\Gamma }_0\left(Np\right)$ to come from some modular form of level ${\Gamma }_0\left(N\right)$. The aim of this work is to give a generalization of this principle in higher dimension for some particular non quasi-split extended inner forms of a unitary group, by studying the torsion cohomology classes of Shimura varieties of Kottwitz-Harris-Taylor type in relation with the local monodromy degeneracy.

Classification : 11F70, 11F80, 11F85, 11G18, 20C08
Mot clés : Variétés de Shimura, cohomologie de torsion, idéal maximal de l’algèbre de Hecke, localisation de la cohomologie, représentation galoisienne
Keywords: Shimura varieties, torsion in the cohomology, maximal ideal of the Hecke algebra, localized cohomology, Galois representation

[1] Boyer, P. Monodromie du faisceau pervers des cycles évanescents de quelques variétés de Shimura simples, Invent. Math., Volume 177 (2009) no. 2, pp. 239-280 | MR | Zbl

[2] Boyer, P. Cohomologie des systèmes locaux de Harris-Taylor et applications, Compositio Math., Volume 146 (2010) no. 2, pp. 367-403 | MR

[3] Boyer, P. La cohomologie des espaces de Lubin-Tate est libre (2013) (soumis, arXiv :1309.1946)

[4] Boyer, P. Filtrations de stratification de quelques variétés de Shimura simples, Bull. Soc. math. France, Volume 142 (2014) no. 4, pp. 777-814 | DOI | MR | Zbl

[5] Boyer, P. Groupe mirabolique, stratification de Newton raffinée et cohomologie des espaces de Lubin-Tate (2016) (arXiv :1611.02082)

[6] Boyer, P. Sur la torsion dans la cohomologie des variétés de Shimura de Kottwitz-Harris-Taylor, J. Inst. Math. Jussieu (2017) (doi :10.1017/S1474748017000093, arXiv :1503.03303) | MR | Zbl

[7] Boyer, P. Torsion classes in the cohomology of KHT Shimura’s varieties, Math. Res. Lett., Volume 25 (2019) no. 5, pp. 1547-1566 | MR

[8] Caraiani, A.; Scholze, P. On the generic part of the cohomology of compact unitary Shimura varieties, Ann. of Math. (2), Volume 186 (2017) no. 3, pp. 649-766 | DOI | MR | Zbl

[9] Dat, J.-F. Un cas simple de correspondance de Jacquet-Langlands modulo $\ell$, Proc. London Math. Soc. (3), Volume 104 (2012) no. 4, pp. 690-727 | DOI | MR | Zbl

[10] Harris, M. R. Taylor The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Math. Studies, 151, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001 | MR | Zbl

[11] Illusie, L. Autour du théorème de monodromie locale, Périodes $p$-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988) (Astérisque), Volume 223, Société Mathématique de France, Paris, 1994, pp. 9-57

[12] Khare, C.; Wintenberger, J.-P. Serre’s modularity conjecture, I & II, Invent. Math., Volume 178 (2009) no. 3, p. 485-504 & 505–586 | MR | Zbl

[13] Lan, K.W.; Suh, J. Vanishing theorems for torsion automorphic sheaves on compact PEL-type Shimura varieties, Duke Math. J., Volume 161 (2012) no. 6, pp. 951-1170 | MR | Zbl

[14] Ribet, K. A. On modular representations of $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$ arising from modular forms, Invent. Math., Volume 100 (1990) no. 2, pp. 431-476 | DOI | MR | Zbl

[15] Taylor, R.; Yoshida, T. Compatibility of local and global Langlands correspondences, J. Amer. Math. Soc., Volume 20 (2007), pp. 467-493 | DOI | MR | Zbl

[16] Vignéras, M.-F. Induced $R$-representations of $p$-adic reductive groups, Selecta Math. (N.S.), Volume 4 (1998) no. 4, pp. 549-623 | DOI | MR | Zbl