Groupes $p$-divisibles avec condition de Pappas-Rapoport et invariants de Hasse

Bijakowski, Stéphane; Hernandez, Valentin

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 935-972.

Nous étudions les groupes $p$-divisibles $G$ munis d’une action de l’anneau des entiers d’une extension finie (possiblement ramifiée) de ${\mathbb{Q}}_p$ sur un schéma de caractéristique $p$. Nous supposons de plus que le groupe $p$-divisible satisfait à la condition de Pappas-Rapoport pour une certaine donnée $\mu$ ; cette condition consiste en une filtration sur le faisceau des différentielles ${\omega }_G$ satisfaisant certaines propriétés. Sur un corps parfait, nous définissons les polygones de Hodge et de Newton pour de tels groupes $p$-divisibles, en tenant compte de l’action. Nous montrons que le polygone de Newton est au-dessus du polygone de Hodge, lui-même au-dessus d’un certain polygone dépendant de la donnée $\mu$.

Nous construisons ensuite des invariants de Hasse pour de tels groupes $p$-divisibles sur une base arbitraire de caractéristique $p$. Nous prouvons que l’invariant de Hasse total est non nul si et seulement si le groupe $p$-divisible est $\mu$-ordinaire, c’est-à-dire si son polygone de Newton est minimal. Enfin, nous étudions les propriétés des groupes $p$-divisibles $\mu$-ordinaires.

La construction des invariants de Hasse s’applique en particulier aux fibres spéciales des modèles des variétés de Shimura PEL construits par Pappas et Rapoport.

We study $p$-divisible groups $G$ endowed with an action of the ring of integers of a finite (possibly ramified) extension of ${\mathbb{Q}}_p$ over a scheme of characteristic $p$. We suppose moreover that the $p$-divisible group $G$ satisfies the Pappas-Rapoport condition for a certain datum $\mu$; this condition consists in a filtration on the sheaf of differentials ${\omega }_G$ satisfying certain properties. Over a perfect field, we define the Hodge and Newton polygons for such $p$-divisible groups, normalized with the action. We show that the Newton polygon lies above the Hodge polygon, itself lying above a certain polygon depending on the datum $\mu$.

We then construct Hasse invariants for such $p$-divisible groups over an arbitrary base scheme of characteristic $p$. We prove that the total Hasse invariant is non-zero if and only if the $p$-divisible group is $\mu$-ordinary, i.e., if its Newton polygon is minimal. Finally, we study the properties of $\mu$-ordinary $p$-divisible groups.

The construction of the Hasse invariants can in particular be applied to special fibers of PEL Shimura varieties models as constructed by Pappas and Rapoport.

Classification : 14L05, 11G18, 11G25, 11G15
Mot clés : Groupes $p$-divisibles, $F$-cristal, données de Pappas-Rapoport, invariants de Hasse, $\mu $-ordinaire
Keywords: $p$-divisible groups, $F$-crystal, Pappas-Rapoport datum, Hasse invariants, $\mu $-ordinary

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