Homogenization of weakly coercive integral functionals in three-dimensional linear elasticity

Briane, Marc; Pallares Martín, Antonio Jesús

Journal de l’École polytechnique — Mathématiques, Tome 4 (2017), pp. 483-514.

Dans cet article on étudie la $\Gamma$-convergence d’énergies intégrales faiblement coercives, de densité oscillante $𝕃(x/\epsilon )\nabla v:\nabla v$, en élasticité tridimensionnelle. Les énergies sont faiblement coercives du fait que la coercivité fonctionnelle classique satisfaite par le tenseur périodique $𝕃$ :

$${\int }_{{ℝ}^3}𝕃\left(y\right)\nabla v:\nabla vdy\ge \Lambda \left(𝕃\right){\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\right|}^{2}dy,$$

pour toute fonction régulière $v$ à support compact dans ${ℝ}^3$, avec $\Lambda \left(𝕃\right)>0$, est remplacée par la condition relaxée $\Lambda \left(𝕃\right)\ge 0$. On montre que le tenseur homogénéisé ${𝕃}^0$ reste fortement elliptique ou, de manière équivalente, $\Lambda \left({𝕃}^0\right)>0$, pour tout tenseur $𝕃=𝕃\left(y_1\right)$ vérifiant l’inégalité ponctuelle :

$$𝕃\left(y\right)M:M+D:\mathrm{Cof}\left(M\right)\ge 0,\text{p.p.}y\in {ℝ}^3,\forall M\in {ℝ}^{3\times 3},$$

par l’addition d’un lagrangien nul pour une matrice $D\in {ℝ}^{3\times 3}$ donnée, et en supposant la coercivité fonctionnelle périodique ${\Lambda }_{\mathrm{per}}\left(𝕃\right)>0$ (obtenue avec des fonctions test $v$ de gradient périodique). Cependant, on obtient une perte d’ellipticité du tenseur homogénéisé, fondée sur un résultat de $\Gamma$-convergence sous la seule hypothèse $\Lambda \left(𝕃\right)\ge 0$, et sur une lamination de rang $2$.

This paper deals with the homogenization through $\Gamma$-convergence of weakly coercive integral energies, with the oscillating density $𝕃(x/\epsilon )\nabla v:\nabla v$, in three-dimensional elasticity. The energies are weakly coercive in the sense where the classical functional coercivity satisfied by the periodic tensor $𝕃$:

$${\int }_{{ℝ}^3}𝕃\left(y\right)\nabla v:\nabla vdy\ge \Lambda \left(𝕃\right){\int }_{{ℝ}^3}{\left|\nabla v\right|}^{2}dy,$$

for any smooth function $v$ with compact support in ${ℝ}^3$, with $\Lambda \left(𝕃\right)>0$, is replaced by the relaxed condition $\Lambda \left(𝕃\right)\ge 0$. We prove that the homogenized tensor ${𝕃}^0$ remains strongly elliptic, or equivalently $\Lambda \left({𝕃}^0\right)>0$, for any tensor $𝕃=𝕃\left(y_1\right)$ satisfying the pointwise inequality:

$$𝕃\left(y\right)M:M+D:\mathrm{Cof}\left(M\right)\ge 0,\text{a.e.}y\in {ℝ}^3,\forall M\in {ℝ}^{3\times 3},$$

adding a quadratic null-Lagrangian for some matrix $D\in {ℝ}^{3\times 3}$, and assuming the periodic functional coercivity ${\Lambda }_{\mathrm{per}}\left(𝕃\right)>0$ (using smooth test functions $v$ with periodic gradients). However, we derive rigorously the loss of strong ellipticity for the homogenized tensor, which is based on a $\Gamma$-convergence result under the sole assumption $\Lambda \left(𝕃\right)\ge 0$, and on a rank-two lamination.

Classification : 35B27, 74B05, 74Q15
Keywords: Linear elasticity, ellipticity, homogenization, $\Gamma $-convergence, lamination
Mot clés : Élasticité linéaire, ellipticité, homogénéisation, $\Gamma $-convergence, lamination

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