A characterization of the relation between two $\ell$-modular correspondences

Kurinczuk, Robert; Matringe, Nadir

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 2, pp. 201-209.

Soit $F$ un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle $p$ et $\ell$ un nombre premier différent de $p$. Soit $\mathrm{V}$ la correspondance de Langlands $\ell$-modulaire définie par Vignéras en [7], entre représentations irréductibles $\ell$-modulaires de ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$ et représentations de Deligne $\ell$-modulaires de dimension $n$ du groupe de Weil ${\mathrm{W}}_F$. Dans [4], l’élargissement de l’espace des paramètres galoisiens aux représentations de Deligne à opérateur non nécessairement nilpotent, nous a permis de proposer une modification de la correspondance de Vignéras en une correpsondance notée $\mathrm{C}$, compatible aux constantes locales des représentations génériques et de leur paramètre. Dans cette note rédigée à la suite d’une remarque d’Alberto Mínguez, nous caractérisons la modification $\mathrm{C}\circ {\mathrm{V}}^{-1}$ par une courte liste de propriétés naturelles.

Let $F$ be a non archimedean local field of residual characteristic $p$ and $\ell$ a prime number different from $p$. Let $\mathrm{V}$ denote Vignéras’ $\ell$-modular local Langlands correspondence [7], between irreducible $\ell$-modular representations of ${\mathrm{GL}}_n\left(F\right)$ and $n$-dimensional $\ell$-modular Deligne representations of the Weil group ${\mathrm{W}}_F$. In [4], enlarging the space of Galois parameters to Deligne representations with non necessarily nilpotent operators allowed us to propose a modification of the correspondence of Vignéras into a correspondence $\mathrm{C}$, compatible with the formation of local constants in the generic case. In this note, following a remark of Alberto Mínguez, we characterize the modification $\mathrm{C}\circ {\mathrm{V}}^{-1}$ by a short list of natural properties.

[1] Harris, Michael; Taylor, Richard The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties, Annals of Mathematics Studies, 151, Princeton University Press, 2001, viii+276 pages (with an appendix by Vladimir G. Berkovich) | MR | Zbl

[2] Henniart, Guy Une preuve simple des conjectures de Langlands pour $\mathrm{GL}\left(n\right)$ sur un corps $p$-adique, Invent. Math., Volume 139 (2000) no. 2, pp. 439-455 | DOI | MR | Zbl

[3] Kurinczuk, Robert; Matringe, Nadir Rankin-Selberg local factors modulo $\ell$, Sel. Math., New Ser., Volume 23 (2017) no. 1, pp. 767-811 | DOI | MR | Zbl

[4] Kurinczuk, Robert; Matringe, Nadir The $\ell$-modular local Langlands correspondence and local constants (2018) (to appear in J. Inst. Math. Jussieu) | DOI

[5] Laumon, Gérard; Rapoport, Michael; Stuhler, Ulrich $𝒟$-elliptic sheaves and the Langlands correspondence, Invent. Math., Volume 113 (1993) no. 2, pp. 217-338 | DOI | MR

[6] Scholze, Peter The local Langlands correspondence for GL${}_n$ over $p$-adic fields, Invent. Math., Volume 192 (2013) no. 3, pp. 663-715 | DOI | MR | Zbl

[7] Vignéras, Marie-France Correspondance de Langlands semi-simple pour $\mathrm{GL}(n,F)$ modulo $l\ne p$, Invent. Math., Volume 144 (2001) no. 1, pp. 177-223 | DOI | MR | Zbl