On the modular Jones polynomial

Pagel, Guillaume

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 8, pp. 901-908.

Un problème majeur en théorie des nœuds est de décider si le polynôme de Jones détecte le nœud trivial. Dans cet article nous étudions une question similaire plus faible, c’est-à-dire si le polynôme de Jones réduit modulo un entier $m$ détecte le nœud trivial. On sait que la réponse est négative pour $m=2^r$ et $m=3$. On montre ici que si cette affirmation est fausse pour un entier $m$, alors elle l’est aussi pour $m^r$ avec $r\ge 1$. En particulier, on construit des nœuds non-triviaux avec un polynôme de Jones trivial modulo $3^r$.

A major problem in knot theory is to decide whether the Jones polynomial detects the unknot. In this paper we study a weaker related problem, namely whether the Jones polynomial reduced modulo an integer $m$ detects the unknot. The answer is known to be negative for $m=2^r$ with $r\ge 1$ and $m=3$. Here we show that if the answer is negative for some $m$, then it is negative for $m^r$ with any $r\ge 1$. In particular, for any $r\ge 1$, we construct nontrivial knots whose Jones polynomial is trivial modulo $3^r$.

Classification : 00X99
Keywords: Knot, Jones polynomial, Kauffman bracket, $m$-trivial knot, connected sum, Legendre formula, modular arithmetic
Mot clés : Nœud, Polynôme de Jones, crochet de Kauffman, nœud $m$-trivial, somme connexe, formule de Legendre, Arithmétique modulaire

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