Stochastic extensions of symbols in Wiener spaces and heat operator

Jager, Lisette

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 28 (2021) no. 2, pp. 157-198.

La construction d’un calcul pseudodifférentiel en dimension infinie analogue au calcul de Weyl, dans [1], a conduit à introduire des classes de symboles adaptées. Les symboles sont des fonctions définies sur un espace de Hilbert de dimension infinie $H$, ce qui contraint à étudier, en particulier, leur extension stochastique à un espace de Wiener construit sur $H$.

Dans cet article, nous définissons une nouvelle classe de symboles, nécessaire pour une application en électrodynamique quantique. Nous poursuivons aussi l’étude des premières classes de symboles. Ces résultats seront utilisés ultérieurement pour établir les propriétés qu’un calcul pseudodifférentiel est censé vérifier. Ils révèlent aussi les liens entre les fonctions définies sur l’espace de Hilbert (l’espace de Cameron–Martin) et leurs extensions stochastiques.

Plus précisément, on prouve ici que les symboles appartenant aux deux types de classes et les termes de leur développement de Taylor admettent des extensions stochastiques. On définit, en dimension infinie, un semi-groupe $H_t$ analogue au semi-groupe de la chaleur classique sur l’espace de Wiener [5, 7]. Mais au lieu d’agir sur des fonctions définies sur un espace de Wiener, il agit sur des fonctions définies sur l’espace de Cameron–Martin, c’est-à-dire sur des fonctions appartenant à nos classes de symboles. L’opérateur de la chaleur commute avec un opérateur du second ordre analogue au Laplacien et qui est le générateur infinitésimal du semi-groupe. Un fait surprenant est que ce Laplacien est continu sur le second type de classes de symboles. Cela permet de développer $H_t$ en termes de puissances de $t$ et de l’inverser.

The construction, in [1], of a pseudodifferential calculus analogous to the Weyl calculus, in an infinite dimensional setting, required the introduction of convenient symbol classes. The symbols are functions defined on an infinite dimensional Hilbert space $H$, which compels us to investigate, in particular, their stochastic extensions to a Wiener space linked with $H$.

In this article, we define a new class of symbols, which applications in quantum electrodynamics render necessary. We proceed with the study of the first classes too. The results will be used to establish, later on, the properties that a pseudodifferential calculus is expected to satisfy. They reveal as well links between functions defined on the Hilbert space (the Cameron–Martin space) and their stochastic extensions.

More precisely, we prove here that the symbols of both classes and the terms of their Taylor expansions admit stochastic extensions. We define, in this infinite dimensional setting, a semigroup $H_t$ analogous to the classical heat semigroup on a Wiener space [5, 7]. But, instead of acting on functions defined on a Wiener space, it acts on functions defined on its Cameron–Martin space, namely on functions belonging to one of our symbol classes. The heat operator commutes with a second order operator similar to the Laplacian, which is the infinitesimal generator of the semigroup. A surprising feature is that this Laplacian is continuous on the second class of symbols. This allows us, in this case, to give an expansion in powers of $t$ of $H_{t}f$, or to invert it.

Classification : 35K08, 28C20
Keywords: stochastic extensions, heat operator, Wiener spaces, pseudodifferential calculus, symbol classes
Mot clés : Extensions stochastiques, opérateur de la chaleur, expaces de Wienes, calcul pseudodifférentiel, classes de symboles

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