Une note sur les intervalles de Tamari

Chapoton, Frédéric

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 25 (2018) no. 2, pp. 299-314.

À tout ordre partiel $P$, on associe un polynôme ${𝔻}_P$ en quatre variables, qui énumère les intervalles dans $P$ en fonction de quatre paramètres dont la description utilise un ordre partiel naturel sur les intervalles.

On s’intéresse aux symétries de cet invariant général lorsqu’il est appliqué à une famille importante d’ordres partiels, les treillis de Tamari. On obtient une symétrie ternaire pour une spécialisation du polynôme (en utilisant une équation fonctionnelle et une équation algébrique pour la série génératrice) et une conjecture sur une symétrie globale du polynôme. On décrit le sous-ensemble connu des intervalles synchrones des treillis de Tamari en terme d’une facette dans un polytope de Newton. On relie une autre spécialisation du polynôme aux statistiques provenant de la canopée des arbres binaires plans.

To every partial order $P$, one can associate a polynomial ${𝔻}_P$ in four variables that enumerates intervals in $P$ according to four parameters coming from a natural partial order on intervals.

This article’s main interest lies in the symmetries of this general invariant when applied to a specific and important familly of posets, the Tamari lattices. We prove a ternary symmetry for an evaluation in 3 variables (using a functional equation and an algebraic equation for the generating series). We describe the subset of synchronized intervals as forming a facet of the Newton polytope. We also get a relation to the generating series of the canopies of intervals.

Classification : 06A07, 05A15
Mot clés : treillis de Tamari, serie generatrice, combinatoire, arbre binaire
Keywords: Tamari lattice, combinatorics, binary trees, generating series

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