Approche $p$-adique de la conjecture de Greenberg pour les corps totalement réels

Gras, Georges

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 24 (2017) no. 2, pp. 235-291.

Soit $k$ un corps de nombres totalement réel et soit $k_{\infty }$ sa ${\mathbb{Z}}_p$-extension cyclotomique pour un premier $p>2$. Nous donnons (Théorème 3.4) une condition suffisante de nullité des invariants d’Iwasawa $\lambda ,\mu$, lorsque $p$ est totalement décomposé dans $k$, et nous obtenons d’importantes tables de corps quadratiques et $p$ pour lesquels on peut conclure que $\lambda =\mu =0$. Nous montrons que le nombre de $p$-classes ambiges de $k_n$ ($n$-ième étage dans $k_{\infty }$) est égal à l’ordre du groupe de torsion ${𝒯}_k$ du groupe de Galois de la pro-$p$-extension Abélienne $p$-ramifiée maximale de $k$ (Théorème 4.7), pour tout $n\ge e$, où $p^e$ est l’exposant de $U_k^{*}/{\overline{E}}_k$ (en termes d’unités locales et globales). Puis nous établissons des analogues de la formule de Chevalley en utilisant une famille ${\left({\Lambda }_i^n\right)}_{0\le i\le m_n}$ de sous-groupes de $k^{\times }$ contenant $E_k$, dans lesquels tout $x$ est norme d’un idéal de $k_n$. Cette famille est attachée à la filtration classique du $p$-groupe des classes de $k_n$ définissant l’algorithme de calcul de son ordre en $m_n$ pas. À partir de cela, nous montrons (Théorème 6.3) que $m_n\ge (\lambda ·n+\mu ·p^n+\nu )/v_p(\#{𝒯}_k)$ et que la condition $m_n=O\left(1\right)$ (i.e., $\lambda =\mu =0$) dépend essentiellement des valuations $𝔭$-adiques des $\frac{x^{p-1}-1}{p}$, $x\in {\Lambda }_i^n$, pour $𝔭\mid p$, de sorte que la conjecture de Greenberg est fortement dépendante de « quotients de Fermat » dans $k^{\times }$. Des heuristiques et statistiques sur ces quotients de Fermat (Sections 6, 7, 8) montrent qu’ils suivent des lois de probabilités naturelles, liées à ${𝒯}_k$ quel que soit $n$, suggérant que $\lambda =\mu =0$ (Heuristiques 7.5, 7.6, 7.10).

Ceci impliquerait que, pour une preuve de la conjecture de Greenberg, certains résultats $p$-adiques profonds (probablement inaccessibles actuellement), ayant une certaine analogie avec la conjecture de Leopoldt, sont nécessaires avant toute référence à la seule théorie d’Iwasawa algébrique.

Let $k$ be a totally real number field ant let $k_{\infty }$ be its cyclotomic ${\mathbb{Z}}_p$-extension for a prime $p>2$. We give (Theorem 3.4) a sufficient condition of nullity of the Iwasawa invariants $\lambda ,\mu$, when $p$ totally splits in $k$, and we obtain important tables of quadratic fields and $p$ for which we can conclude that $\lambda =\mu =0$. We show that the number of ambiguous $p$-classes of $k_n$ ($n$th stage in $k_{\infty }$) is equal to the order of the torsion group ${𝒯}_k$, of the Galois group of the maximal Abelian $p$-ramified pro-$p$-extension of $k$ (Theorem 4.7), for all $n\ge e$, where $p^e$ is the exponent of $U_k^{*}/{\overline{E}}_k$ (in terms of local and global units). Then we establish analogs of Chevalley’s formula using a family ${\left({\Lambda }_i^n\right)}_{0\le i\le m_n}$ of subgroups of $k^{\times }$ containing $E_k$, in which any $x$ is norm of an ideal of $k_n$. This family is attached to the classical filtration of the $p$-class group of $k_n$ defining the algorithm of computation of its order in $m_n$ steps. From this, we prove (Theorem 6.3) that $m_n\ge (\lambda ·n+\mu ·p^n+\nu )/v_p(\#{𝒯}_k)$ and that the condition $m_n=O\left(1\right)$ (i.e., $\lambda =\mu =0$) essentially depends on the $𝔭$-adic valuations of the $\frac{x^{p-1}-1}{p}$, $x\in {\Lambda }_i^n$, for $𝔭\mid p$, so that Greenberg’s conjecture is strongly related to “Fermat quotients” in $k^{\times }$. Heuristics and statistical analysis of these Fermat quotients (Sections 6, 7, 8) show that they follow natural probabilities, linked to ${𝒯}_k$ whatever $n$, suggesting that $\lambda =\mu =0$ (Heuristics 7.5, 7.6, 7.10).

This would imply that, for a proof of Greenberg’s conjecture, some deep $p$-adic results (probably out of reach now), having some analogy with Leopoldt’s conjecture, are necessary before referring to the sole algebraic Iwasawa theory.

Classification : 11R23, 11R29, 11R37, 11Y40
Mots clés : Greenberg’s conjecture, Iwasawa’s theory, $p$-class groups, class field theory, Fermat quotients, $p$-adic regulators, Leopoldt’s conjecture

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