Modified truncated Perron formulae

Ramaré, Olivier

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 23 (2016) no. 1, pp. 109-128.

Nous prouvons deux formules générales prêtes à l’emploi reliant les variations de la fonction sommatoire ${\sum }_{n\le x}{a}_n$ avec l’intégrale $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }{\int }_{\kappa -\mathrm{i}T}^{\kappa +\mathrm{i}T}F\left(z\right)x^z\mathrm{d}z/z$, où $F\left(z\right)={\sum }_{n\ge 1}{a}_n/n^z$ et $\kappa$ est un paramètre strictement supérieur à l’abscisse de convergence de $F$.

We prove two general and ready for use formulae relating variations of the summatory function ${\sum }_{n\le x}{a}_n$ together with $\frac{1}{2\mathrm{i}\pi }{\int }_{\kappa -\mathrm{i}T}^{\kappa +\mathrm{i}T}F\left(z\right)x^z\mathrm{d}z/z$, where $F\left(z\right)={\sum }_{n\ge 1}{a}_n/n^z$ and $\kappa$ is a parameter strictly larger than the abcissa of absolute convergence of $F$.

Classification : 11N35
Keywords: Selberg sieve, large sieve inequality
Mot clés : Crible de Selberg, inégalité de grand crible

[1] Cartan, H. Sur les inégalités entre les maxima des dérivées successives d’une fonction., C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 208 (1939), pp. 414-416

[2] Diamond, Harold G.; Steinig, John An elementary proof of the prime number theorem with a remainder term., Invent. Math., Volume 11 (1970), pp. 199-258 | DOI

[3] Goldston, D. A. On a result of Littlewood concerning prime numbers. II, Acta Arith., Volume 43 (1983) no. 1, pp. 49-51

[4] Gorny, A. Contribution à l’étude des fonctions dérivables d’une variable réelle, Acta Math., Volume 71 (1939), pp. 317-358 | DOI

[5] Hadamard, J. Sur le module maximum d’une fonction et de ses dérivées., Bull. Soc. Math. France, Volume 42 (1914), pp. 68-72

[6] Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. Contributions to the arithmetic theory of series., Proc. Lond. Math. Soc. (2), Volume 11 (1912), pp. 411-478 | DOI

[7] Kaczorowski, J.; Perelli, A. A new form of the Riemann-von Mangoldt explicit formula, Boll. Un. Mat. Ital. B (7), Volume 10 (1996) no. 1, pp. 51-66

[8] Kolmogoroff, Andre Une généralisation de l’inégalité de M. J. Hadamard entre les bornes supérieures des dérivées successives d’une fonction., C. R. Acad. Sci., Paris, Volume 207 (1938), pp. 764-765

[9] Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Erster Band., Leipzig u. Berlin: B. G. Teubner., 1909, x+564 pages

[10] Liu, Jianya; Ye, Yangbo Perron’s formula and the prime number theorem for automorphic $L$-functions, Pure Appl. Math. Q., Volume 3 (2007) no. 2, Special Issue: In honor of Leon Simon. Part 1, pp. 481-497 | DOI

[11] Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. Multiplicative number theory. I. Classical theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, xviii+552 pages

[12] Perelli, A.; Puglisi, G. On some classical explicit formulae, Boll. Un. Mat. Ital. A (6), Volume 4 (1985) no. 2, pp. 269-278

[13] Perron, Oskar Zur Theorie der Dirichletschen Reihen, J. Reine Angew. Math., Volume 134 (1908), pp. 95-143 | DOI

[14] Ramana, D.S.; Ramaré, Olivier An Exact Truncated Perron Formula, In preparation, 2014

[15] Ramaré, Olivier Eigenvalues in the large sieve inequality, Funct. Approx. Comment. Math., Volume 37 (2007) no. part 2, pp. 399-427 | DOI

[16] PARI/GP, Version 2.5.2 (2011) (available from http://pari.math.u-bordeaux.fr/)

[17] Titchmarsh, E. C. The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford, at the Clarendon Press, 1951, vi+346 pages

[18] Wolke, Dieter On the explicit formula of Riemann-von Mangoldt. II, J. London Math. Soc. (2), Volume 28 (1983) no. 3, pp. 406-416 | DOI