Sur une application de l’analyse complexe aux trajectoires rugueuses

Marie, Nicolas

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) no. 2, pp. 69-80.

Working with a geometric rough path over a ${ℝ}^d$-valued function is more difficult for $d=2$ than for $d=1$, because the tensor product isn’t commutative for $d>1$. In order to bypass that difficulty for $d=2$, a notion of geometric rough paths for $ℂ$-valued functions, easier as for $d=1$, is defined by replacing the tensor product by the usual (commutative) product on $ℂ$ in definitions. The link with the rough integral for $d=2$ is studied, and an application of Cauchy’s theorem is provided.

La manipulation d’une trajectoire géométrique au-dessus d’une fonction à valeurs dans ${ℝ}^d$ est moins aisée dans le cas $d=2$ que dans le cas $d=1$, notamment car le produit tensoriel n’est pas commutatif pour $d>1$. Afin de contourner cette difficulté dans le cas $d=2$, cette note introduit une notion de trajectoires géométriques pour les fonctions à valeurs complexes, aussi simple à manipuler que dans le cas $d=1$, en remplaçant le produit tensoriel par le produit (commutatif) usuel sur $ℂ$ dans les définitions. Le lien avec l’intégrale des trajectoires rugueuses dans le cas $d=2$ est étudié, et une application du théorème de Cauchy est proposée.

Keywords: Trajectoires rugueuses, analyse complexe, théorème de Cauchy
Mot clés : Rough paths, complex analysis, Cauchy’s theorem

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