On $p^2$-Ranks in the Class Field Tower Problem

Maire, Christian; McLeman, Cam

doi:10.5802/ambp.342

p^{2}

-Ranks in the Class Field Tower Problem
[

p^{2}

-rangs et

p

-tours de Hilbert]

Maire, Christian ¹ ; McLeman, Cam ²

¹ Laboratoire de Mathématiques UMR 6623 CNRS - Université de Franche-Comté 16, Route de Gray 25030 Besançon cedex FRANCE
² Mathematics Department University of Michigan - Flint 303 E. Kearsley St. Flint, MI, 48502 USA

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) no. 2, pp. 57-68.

Résumé
Abstract

Les récents progrès sur le problème de la 2-tour de Hilbert des corps de nombres portent sur l’infinitude – en particulier pour les corps quadratiques – quand le groupe des classes a un grand 4-rang. Généralisant à tout nombre premier $p$ , nous utilisons les inégalités de type Golod-Safarevic afin d’analyser la contribution du $p^{2}$ -rang du groupe des classes à l’étude de la $p$ -tour de Hilbert. Nous apportons également des résultats partiels en direction de l’infinitude de le $2$ -tour de Hilbert des corps quadratiques réels lorsque que le $2$ -rang du groupe des classes vaut $5$ .

Much recent progress in the 2-class field tower problem revolves around demonstrating infinite such towers for fields – in particular, quadratic fields – whose class groups have large 4-ranks. Generalizing to all primes, we use Golod-Safarevic-type inequalities to analyse the source of the $p^{2}$ -rank of the class group as a quantity of relevance in the $p$ -class field tower problem. We also make significant partial progress toward demonstrating that all real quadratic number fields whose class groups have a 2-rank of 5 must have an infinite 2-class field tower.

EuDML MR

DOI : 10.5802/ambp.342

Classification : 11R29, 11R34, 11R37
Keywords: Hilbert class field towers
Mot clés : Tours de Hilbert des corps de nombres

Affiliations des auteurs :

Maire, Christian ¹ ; McLeman, Cam ²

@article{AMBP_2014__21_2_57_0,
     author = {Maire, Christian and McLeman, Cam},
     title = {On $p^2${-Ranks} in the {Class} {Field} {Tower} {Problem}},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     pages = {57--68},
     publisher = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {21},
     number = {2},
     year = {2014},
     doi = {10.5802/ambp.342},
     mrnumber = {3322615},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.342/}
}

TY  - JOUR
AU  - Maire, Christian
AU  - McLeman, Cam
TI  - On $p^2$-Ranks in the Class Field Tower Problem
JO  - Annales mathématiques Blaise Pascal
PY  - 2014
SP  - 57
EP  - 68
VL  - 21
IS  - 2
PB  - Annales mathématiques Blaise Pascal
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.342/
DO  - 10.5802/ambp.342
LA  - en
ID  - AMBP_2014__21_2_57_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Maire, Christian
%A McLeman, Cam
%T On $p^2$-Ranks in the Class Field Tower Problem
%J Annales mathématiques Blaise Pascal
%D 2014
%P 57-68
%V 21
%N 2
%I Annales mathématiques Blaise Pascal
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.342/
%R 10.5802/ambp.342
%G en
%F AMBP_2014__21_2_57_0

Maire, Christian; McLeman, Cam. On $p^2$-Ranks in the Class Field Tower Problem. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) no. 2, pp. 57-68. doi : 10.5802/ambp.342. http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.342/

Bibliographie
Cité par

[1] Benjamin, Elliot; Lemmermeyer, Franz; Snyder, C. Real quadratic fields with abelian $2$ -class field tower, J. Number Theory, Volume 73 (1998) no. 2, pp. 182-194 | DOI | MR | Zbl

[2] Golod, E. S.; Šafarevič, I. R. On the class field tower, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Volume 28 (1964), pp. 261-272 | MR | Zbl

[3] Maire, Christian Un raffinement du théorème de Golod-Safarevic, Nagoya Math. J., Volume 150 (1998), pp. 1-11 http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118766698 | MR | Zbl

[4] Schoof, René Infinite class field towers of quadratic fields, J. Reine Angew. Math., Volume 372 (1986), pp. 209-220 | DOI | MR | Zbl

[5] Stein, W. A. Sage Mathematics Software (Version 5.11) (Y2013) (http://www.sagemath.org)

[6] Venkov, B. B.; Koh, H. The $p$ -tower of class fields for an imaginary quadratic field, Zap. Naučn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), Volume 46 (1974), p. 5-13, 140 (Modules and representations) | MR | Zbl

Cité par Sources :