On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group

Franks, Jordan; Valette, Alain

doi:10.5802/ambp.335

1

-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group
[Sur les

1

-cocycles induits par une fonction de type positif sur un groupe abélien localement compact]

Franks, Jordan ¹ ; Valette, Alain ²

¹ Mathematisches Institut Universität Bonn Endenicher Allee 60 53115 Bonn Germany
² Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel Unimail, 11 Rue Emile Argand CH-2000 Neuchâtel Switzerland

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) no. 1, pp. 61-69.

Résumé
Abstract

Soit $ϕ$ une fonction de type positif normalisée sur un groupe localement compact abélien $G$ , et $π_{ϕ}$ la représentation unitaire de $G$ obtenue par construction GNS. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour l’annulation de la 1-cohomologie $H^{1} (G, π_{ϕ})$ et de la 1-cohomologie réduite ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ})$ . Par exemple, ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ}) = 0$ si et seulement si ou bien $Hom (G, ℂ) = 0$ ou bien $μ_{ϕ} (1_{G}) = 0$ , où $1_{G}$ est le caractère trivial de $G$ et $μ_{ϕ}$ est la mesure de probabilité sur le dual de Pontryagin $\hat{G}$ associée à $ϕ$ par le théorème de Bochner. Cela simplifie un argument de Guichardet (Théorème 4 de [7]).

For $ϕ$ a normalized positive definite function on a locally compact abelian group $G$ , let $π_{ϕ}$ be the unitary representation associated to $ϕ$ by the GNS construction. We give necessary and sufficient conditions for the vanishing of 1-cohomology $H^{1} (G, π_{ϕ})$ and reduced 1-cohomology ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ})$ . For example, ${\bar{H}}^{1} (G, π_{ϕ}) = 0$ if and only if either $Hom (G, ℂ) = 0$ or $μ_{ϕ} (1_{G}) = 0$ , where $1_{G}$ is the trivial character of $G$ and $μ_{ϕ}$ is the probability measure on the Pontryagin dual $\hat{G}$ associated to $ϕ$ by Bochner’s Theorem. This streamlines an argument of Guichardet (see Theorem 4 in [7]).

MR Zbl

DOI : 10.5802/ambp.335

Classification : 43A35
Mots clés : continuous 1-cohomology, cyclic representation, GNS construction, locally compact abelian group, positive definite function

Affiliations des auteurs :

Franks, Jordan ¹ ; Valette, Alain ²

¹ Mathematisches Institut Universität Bonn Endenicher Allee 60 53115 Bonn Germany
² Institut de Mathématiques Université de Neuchâtel Unimail, 11 Rue Emile Argand CH-2000 Neuchâtel Switzerland

@article{AMBP_2014__21_1_61_0,
     author = {Franks, Jordan and Valette, Alain},
     title = {On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group},
     journal = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     pages = {61--69},
     publisher = {Annales math\'ematiques Blaise Pascal},
     volume = {21},
     number = {1},
     year = {2014},
     doi = {10.5802/ambp.335},
     zbl = {1297.43007},
     mrnumber = {3248221},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.335/}
}

TY  - JOUR
AU  - Franks, Jordan
AU  - Valette, Alain
TI  - On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group
JO  - Annales mathématiques Blaise Pascal
PY  - 2014
SP  - 61
EP  - 69
VL  - 21
IS  - 1
PB  - Annales mathématiques Blaise Pascal
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.335/
DO  - 10.5802/ambp.335
LA  - en
ID  - AMBP_2014__21_1_61_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Franks, Jordan
%A Valette, Alain
%T On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group
%J Annales mathématiques Blaise Pascal
%D 2014
%P 61-69
%V 21
%N 1
%I Annales mathématiques Blaise Pascal
%U http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.335/
%R 10.5802/ambp.335
%G en
%F AMBP_2014__21_1_61_0

Franks, Jordan; Valette, Alain. On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group. Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 21 (2014) no. 1, pp. 61-69. doi : 10.5802/ambp.335. http://www.numdam.org/articles/10.5802/ambp.335/

Bibliographie
Cité par

[1] Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain Kazhdan’s property (T), Cambridge University Press, 2008 | MR | Zbl

[2] Bekka, Bachir; Valette, Alain Group cohomology, harmonic functions and the first $L^{2}$ -Betti number, Potential Analysis, Volume 6 (1997), pp. 313-326 | DOI | MR | Zbl

[3] Cornulier, Yves de; Tessera, Romain; Valette, Alain Isometric group actions on Banach space and representations vanishing at infinity, Transform. Groups, Volume 13 (2008), pp. 125-147 | DOI | MR | Zbl

[4] Dixmier, Jacques Les $C^{*}$ -alg $\overset{`}{e}$ bres et leurs repr $\overset{´}{e}$ sentations, Gauthier-Villars, 1969 | Zbl

[5] Folland, Gerald A course in abstract harmonic analysis, CRC Press, 1995 | MR | Zbl

[6] Guichardet, Alain Sur la cohomologie des groupes topologiques, Bull. Sc. Math, Volume 95 (1971), pp. 161-176 | MR | Zbl

[7] Guichardet, Alain Sur la cohomologie des groupes topologiques II, Bull. Sc. Math., Volume 96 (1972), pp. 305-332 | MR | Zbl

[8] Guichardet, Alain Cohomologie des groupes topologiques et des alg $\overset{`}{e}$ bres de Lie, CEDIC, 1980 | MR | Zbl

[9] Rudin, Walter Fourier analysis on groups, John Wiley and Sons, 1962 | MR | Zbl

[10] Shalom, Yehuda Rigidity of commensurators and irreducible lattices, Invent. Math., Volume 141 (2000), pp. 1-54 | DOI | MR | Zbl

Cité par Sources :