Domaines réguliers du plan

Zinsmeister, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 1, pp. 49-55.

Un domaine $\Omega$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists \mathbf{C}>0,\forall z_0\in \mathbf{C},\forall r>0,{𝒦}^1(\partial \Omega \cap \{|z-z_0|<r\})\le Cr,$ où ${\mathscr{H}}^1$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ($\Phi$,$\Omega )$, où $\Omega$ est un domaine régulier, et $\Phi$ une représentation conforme de ${\mathbf{R}}_{+}^2$ sur $\Omega$. $X_0$ est l’ensemble des ($\Phi$,$\Omega )$ appartenant à $X$ tels que $\Omega$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose

$$\widetilde{𝒟}=\{log{\Phi }^{\prime };(\Phi ,\Omega )\in X\}\text{et}\widetilde{ℒ}=\{Log{\Phi }^{\prime };(\Phi ,\Omega )\in X_0\}.$$

Nous montrons que $\widetilde{𝒟}$ est inclus dans $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^2\right)$ et que $\widetilde{ℒ}$ est l’intérieur de $\widetilde{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de plus qu’il existe un point de $\widetilde{𝒟}$ qui n’est pas adhérent à $\widetilde{ℒ}$. Ces résultats complètent et généralisent ceux de l’article “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” paru dans une précédente édition de cette revue.

A plane simply connected domain $\Omega$ is called regular if it satisfies the following condition:

$$\exists \mathbf{C},\forall z_0\in \mathbf{C},\forall r>0,{\mathscr{H}}^1(\partial \Omega \cap \{|z-z_0|<r\})\le Cr,$$

where ${\mathscr{H}}^1$ stands for the one-dimensional Hausdorff measure. Let $X$ be the set of all $(\Phi ,\Omega )$ where $\Omega$ is a regular domain and $\Phi$ a conformal mapping from ${\mathbf{R}}_{+}^2$ onto $\Omega$. $X_0$ is the set of all $(\Phi ,\Omega )$ in $X$ with $\Omega$ a Lavrentiev domain. Let

$$\widetilde{𝒟}=\{log{\Phi }^{\prime };(\Phi ,\Omega )\in X\}\text{and}\widetilde{ℒ}=\{Log{\Phi }^{\prime };(\Phi ,\Omega )\in X_0\}.$$

We prove that $\widetilde{𝒟}$ the subset of $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^2\right)$ and that $\widetilde{ℒ}$ is the interior $\widetilde{𝒟}$ in this space. Moreover we prove that $\widetilde{𝒟}$ is not contained in the closure of $\widetilde{ℒ}$. These results refine and improve the results of the papar: “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” which has appeared in a preceeding issue of this journal.

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