Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables

Sargos, Patrick

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 3, pp. 83-123.

Soient $P\left(\underline{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ et $Q\left(\underline{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :

$$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underline{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underline{x}\right)}{Q\left(\underline{x}\right)}=+\infty .$$

Soient $\underline{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underline{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underline{\eta }}^{\underline{\eta }}R(\underline{\eta }{)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underline{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underline{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

Let $P\left(\underline{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ and $Q\left(\underline{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ be tow polynomials with positive coefficients such that:

$$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underline{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underline{x}\right)}{Q\left(\underline{x}\right)}=+\infty .$$

Let $\underline{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ and $R=P/Q$. We study the Dirichlet series $Z(R,\underline{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underline{\eta }}^{\underline{\eta }}R(\underline{\eta }{)}^{-s}$: abscissa of absolute convergence, existence and nature of the meromorphic continuation, order of growth in vertical strips. Our process for constructing the meromorphic continuation of the function $s\mapsto Z(R,\underline{\eta };s)$ only depends on $\underline{\eta }$ and some particular monomials of $P$ and $Q$: the extremal monomials.

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