Propriétés de descente des variétés à fibré cotangent ample

Martin-Deschamps, Mireille

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 3, pp. 39-64.

On généralise ici un théorème de Grauert-Manin pour les courbes (problème de Mordell pour les corps de fonctions). Soit $L$ un corps de fonctions algébriques sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique 0, $X$ une variété propre et lisse sur $L$, dont le fibré cotangent ${\Omega }_{X/L}^1$ est ample; si l’ensemble de ses points rationnels est Zariski-dense, la variété $X$ se redescend sur $k$.

We give here a generalization of a theorem of Grauert-Manin for curves (Mordell’s problem for functions fields). Let $L$ be an algebraic function field over $k$ (an algebraically closed field of characteristic 0), and let $X$ be a proper smooth $L$-variety, with ample cotangent bundle ${\Omega }_{X/L}^1$; if the set of rational points of $X$ is Zariski-dense, then the variety $X$ is defined over $k$.

[1] F.A. Bogomolov, Counter-example to Miyaoka's claim on surfaces with ample Ω1, Preprint.

[2] M. Deschamps-Martin, Etude des extensions d'un faisceau ample par le faisceau trivial sur un schéma de type fini sur un corps, C.R.A.S., t. 281, série A 35 (1975). | MR | Zbl

[3] M. Flexor, Nouveaux contre-exemples aux énoncés d'annulation “à la Kodaira” en caractéristique p > 0. Séminaire sur les pinceaux de courbes de genre au moins 2. Exposé n° 4, Astérisque, n° 86 (1981). | Zbl

[4] D. Gieseker, P-ample bundles and their Chern classes, Nagoya Math. J., Vol. 43 (1971). | MR | Zbl

[5] H. Grauert, Mordell's Vermütung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper, Publ. Math. I.H.E.S., n° 25 (1965). | Numdam | Zbl

[6] R. Hartshorne, Ample vector bundles, Publ. Math. I.H.E.S., n° 29 (1966). | Numdam | MR | Zbl

[7] R. Hartshorne, Ample vector bundles on curves, Nagoya Math. J., Vol. 43 (1971). | MR | Zbl

[8] K. Kodaira, A certain type of irregular algebraic surface, Journal d'Analyse Mathématique, Vol. 19 (1967). | MR | Zbl

[9] K. Kodaira et D.C. Spencer, On deformations of complex analytic structures, Ann. of Math., n° 67 (1958). | MR | Zbl

[10] Ju. I. Manin, Rational points of algebraic curves over function fields, Transl. Amer. Math. Soc., n° 50 (1966). | Zbl

[11] J. Noguchi et T. Sunada, Finiteness of the family of rational and meromorphic mappings into algebraic varieties, Amer. J. of Math., Vol. 104 (1982). | MR | Zbl

[12] P. Samuel, Compléments à un article de H. Grauert sur la conjecture de Mordell, Publ. Math. I.H.E.S., n° 29 (1966). | Numdam | MR | Zbl

[13] P. Samuel, On old and new results on algebraic curves, Tata Institute Bombay. | Zbl

[14] L. Szpiro, Propriétés numériques du faisceau dualisant relatif. Séminaire sur les pinceaux de courbes de genre au moins 2. Exposé n° 3, Astérisque, n° 86 (1981). | Zbl