Fonctions à hessien borné

Demengel, Françoise

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 2, pp. 155-190.

Cet article établit quelques propriétés des distributions sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^N$ dont le hessien est une mesure bornée. Après quelques propriétés topologiques – Compacité faible des bornées de $HB\left(\Omega \right)$ lorsque $\Omega$ est borné, densité des fonctions régulières pour une topologie assez finie – on s’intéresse au comportement sur le bord de $\Omega$ lorsque $\partial \Omega$ est assez régulier; pour ce faire, on est amené à étudier celui des fonctions de $W^{2,1}$. On montre enfin dans une 3ème partie des théorèmes d’injection de Sobolev et notamment la continuité de telles fonctions.

This paper is concerned with some properties of distributions defined on an open set of ${\mathbf{R}}^N$ the hessian of which is a bounded measure. We first state topological properties, as the weak compacity of bounded sets of $HB\left(\Omega \right)$ when $\Omega$ is bounded, the density of smooth functions for a topology sufficiently sharp. Then we address the questions of the behavior of such distribution on the boundary of $\Omega$. This leads us to study the same question for functions of $W^{2,1}\left(\Omega \right)$. Finally, we prove Sobolev imbedding Theorems appropriate in this context and specifically imbedding into some set of continuous functions.

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