Déterminant associé à une trace sur une algèbre de Banach

Harpe, Pierre De La; Skandalis, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 1, pp. 241-260.

Soient $A$ une algèbre de Banach complexe, $G{L}_{\infty }\left(A\right)$ le groupe général linéaire stable de $A$ et $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$ sa composante connexe pour la topologie normique. Nous montrons que toute trace non nulle $r:A\to \mathbf{C}$ permet de définir un homomorphisme ${\Delta }_r$ de $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$ sur le quotient du groupe additif $\mathbf{C}$ par l’image $\underline{r}(K_0\left(A\right))$ du groupe de Grothendieck de $A$. Si $A=M_n\left(\mathbf{C}\right)$ (respectivement si $A$ est un facteur fini continu) avec la trace usuelle, alors $\exp \left(i2\pi {\Delta }_r\right)$ est le déterminant usuel (resp. $\exp \left(\mathrm{Re}\right(i2\pi {\Delta }_r\left)\right)$ est celui de Fuglede et Kadison). Dans le cas général, les déterminants ${\Delta }_r$ permettent d’étudier les groupes dérivés de $G{L}_1^0\left(A\right)$ et $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$, donc aussi la relation entre les groupes de Whitehead $K_1\left(A\right)$ et $K_1^{\mathrm{top}}\left(A\right)$.

Let $A$ be a complex Banach algebra, let $G{L}_{\infty }\left(A\right)$ be the stable general linear group of $A$ and let $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$ be its connected component for the norm topology. We show that, for any non zero trace $r:A\to \mathbf{C}$, one may define a homomorphism ${\Delta }_r$ from $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$ onto the quotient of the additive group $\mathbf{C}$ by the image $\underline{r}(K_0\left(A\right))$ of the Grothendieck group of $A$. If $A=M_n\left(\mathbf{C}\right)$ (respectively if $A$ is a finite continuous factor) with the usual trace, than $\exp \left(i2\pi {\Delta }_r\right)$ is the usual determinant (resp. $\exp \left(Re\right(i2\pi {\Delta }_r\left)\right)$ is that of Fuglede and Kadison). In general, the determinants ${\Delta }_r$ make it possible to study the derived groups of $G{L}_1^0\left(A\right)$ and $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$, et thus also the relationship between the Whitehead groups $K_1\left(A\right)$ and $K_1^{\mathrm{top}}\left(A\right)$.

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