The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points

Bishop, Errett; Leeuw, Karel De

Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), pp. 305-331.

Soit $X$ un compact, $B$ un espace vectoriel de fonctions numériques continues sur $X$ (muni de la norme classique), séparant les points de $X$ et contenant les constantes.

On note $M\left(B\right)$ l’ensemble des $x$ de $X$ tels que toute mesure positive $\mu$ sur $X$ pour laquelle on ait pour tout $f\in B$ :

$$f\left(x\right)=\int fd\mu$$

soit nécessairement la mesure de masse 1 portée par $x$.

On veut représenter les éléments de $B^{*}$ par des mesures portées par $M\left(B\right)$ ; un théorème de Choquet en montre la possibilité lorsque $X$ est métrisable. On le démontre ici autrement, ce qui redonne le théorème de Choquet, et permet d’étendre ce dernier au cas non métrique (dans ce cas on exige seulement de $\mu$ qu’elle soit portée par tout ouvert contenant $M\left(B\right)$).

On énonce également des résultats voisins pour des algèbres de fonctions continues à valeurs complexes.

Une série d’exemples montre qu’on ne peut pas améliorer les énoncés obtenus, par exemple imposer à $\mu$ d’être portée par $M\left(B\right)$ lui-même dans tous les cas.

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