Localisation formelle et groupe de Picard

Fresnel, Jean; Put, Marius Van Der

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 19-82.

Soient $X$ un espace analytique affinoïde réduit sur un corps $K$ complet pour une valeur absolue non archimédienne, $r:X\to \widehat{X}$ sa réduction canonique et $p\in \widehat{X}$ un point de la variété algébrique affine $\widehat{X}$. Ce travail décrit la singularité du point $p$ à l’aide d’objets associés à l’espace $X$: la localisation formelle ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne de spectre maximal $r^{-1}\left(p\right)$ et dont la réduction est ${𝒪}_{\widehat{X},\left(p\right)}$ ; un complété formel ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ qui est une $K$-algèbre noethérienne dont la réduction est ${𝒪}_{\widehat{X},\left(p\right)}$. Les résultats essentiels sont obtenus pour $X$ régulier et de dimension 1. On montre les équivalences qui suivent : $p$ est un point multiple ordinaire; Pic$\left({\widehat{𝒪}}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ (le groupe de Picard de ${\widehat{𝒪}}_{X,\left(p\right)}$ est trivial) ; $r^{-1}\left(p\right)$ est localement isomorphe à ${\mathbf{P}}_K^1$. Si $p$ est toujours un point multiple ordinaire on a : Pic$({𝒪}_{X,\left(p\right)})\simeq |K^{\times }{|}^{n-s}/Z$ où $n$ est la multiplicité du point $p$, $s$ le nombre de composantes irréductibles de $\widehat{X}$ qui passent par $p$ et $Z$ est un sous-groupe de $|{\mathbf{K}}^{\times }{|}^{n-s}$ engendré par, au plus, $n-1$ éléments. En particulier, Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ si et seulement si $p$ est une intersection multiple.

Let $X$ be a reduced analytic space over a complete, non-archimedean valued field $K$. Let $X$ affinoid with canonical reduction $r:X\to \widehat{X}$ and let $\rho \in \widehat{X}$. The singularity of the point $p$ is described with the help of certain $K$-algebra’s associated with $X$ namely :

(i) the formal localization ${𝒪}_{X,\left(p\right)}$ which is noetherian, has $r^{-1}\left(p\right)$ as its maximal ideal space and has reduction ${𝒪}_{\widehat{X},p}$.

(ii) The formal completion ${\widehat{𝒪}}_{X,\left(p\right)}$, again noetherian with $r^{-1}\left(p\right)$ as its maximal ideal space and with reduction ${\widehat{𝒪}}_{\widehat{X},p}$.

The essential results are obtained for a regular $X$ of dimension 1. One shows the equivalence of: (a) $p$ is an ordinary multiple point, (b) Pic$\left({\widehat{𝒪}}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$, $r^{-1}\left(p\right)$ is locally isomorphic to ${\mathbf{P}}_K^1$. For an ordinary multiple point $p$ one finds Pic$({𝒪}_{X,\left(p\right)})\simeq |K^{\times }{|}^{n-s}/Z$ where $n$ is the multiplicity of $p$, the number of irreducible components through $p$ is $s$, and $Z$ is a subgroup of $|K^{\times }{|}^{n-s}$ generated by at most $(n-1)$ elements. In particular Pic$\left({𝒪}_{X,\left(p\right)}\right)=\left(1\right)$ if and only if $p$ is a multiple intersection.

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