Degree of the fibres of an elliptic fibration

Buium, Alexandru

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 269-276.

Soit $X\to B$ une fibration elliptique et soit $F$ une fibre générale. Soit $n_e,n_s,n_a,n_v$ les minima des valeurs non-nulles des nombres d’intersection $(ℒ,F)$ où $ℒ$ parcourt successivement les ensembles suivants : diviseurs effectifs sur $X$, faisceaux inversibles engendrés par sections globales, diviseurs amples et diviseurs très amples. Soit $m$ le maximum des multiplicités des fibres de $X\to B$. On démontre que $n_e=n_s$ si et seulement si $n_e\le 2m$ et que $n_a=n_v$ si et seulement si $n_a\ge 3m$.

Let $X\to B$ an elliptic fibration with general fibre $F$. Let $n_e,n_s,n_a,n_v$ be the minima of the non-zero intersection numbers $(ℒ,F)$ where $ℒ$ runs successively through the following sets: effective divisors on $X$, invertible sheaves spanned by global sections, ample divisors and very ample divisors. Let $m$ be the maximum of the multiplicities of the fibres of $X\to B$. We prove that $n_e=n_s$ if and only if $n_e\ge 2m$ and that $n_a=n_v$ if and only if $n_a\ge 3m$.

[1] A. Beauville, Surfaces algébriques complexes, Astérisque, 54 (1978). | Numdam | MR | Zbl

[2] E. Bombieri, Canonical models of surfaces of general type, Publ. Math. IHES, 42 (1972), 171-220. | Numdam | MR | Zbl

[3] F. Enriques, Le superficie algebriche, Zanichelli, 1949. | MR | Zbl

[4] P. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, John Wiley & Sons, New York, 1978. | MR | Zbl

[5] K. Kodaira, On compact complex analytic surfaces II, Ann. of Math., 77 (1963). | MR | Zbl

[6] C.P. Ramanujam, Remarks on the Kodaira vanishing theorem, J. of the Indian Math. Soc., 36 (1972), 41-51 ; Supplement to the article “Remarks on the Kodaira vanishing theorem”, J. of the Indian Math. Soc., 38 (1974), 121-124. | MR | Zbl