Sur les transformations des variétés riemanniennes et kählériennes

Couty, Raymond

Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), pp. 147-248.

La première partie est l’étude sur une variété riemannienne $V$ de transformations locales déduites du groupe d’holonomie infinitésimale, opérant sur les géodésiques issues d’un point. Si ces transformations sont affines, projectives ou conformes, ou bien conservent l’élément de volume, ou encore la structure complexe dans le cas kählerien ; on en déduit des conditions pour que $V$ soit localement symétrique (ou pour que son tenseur de Ricci soit à dérivée covariante nulle). L’étude est ensuite étendue à certaines variétés à connexion euclidienne. La deuxième partie est consacrée aux transformations infinitésimales projectives ou conformes. Dans le chapitre I, $V$ est supposée compacte ou complète. Le chapitre II est réservé aux champs de tenseurs $G$invariants sur un espace homogène $G/H$. Au chapitre III, $V$ est espace d’Einstein, on a alors un théorème de décomposition de l’espace vectoriel des $l$-formes projectives (resp. conformes) ; application, en particulier au cas d’un espace d’Einstein compact ou complet. Le chapitre IV concerne le cas où $V$ est kählerienne : toute $l$-forme projective (resp. conforme) fermée est affine (resp. homothétique) ; si on ajoute l’hypothèse compacte on a des formes à dérivée covariante nulle. Sur un espace d’Einstein-Kähler à courbure scalaire non nulle tout $I$ forme projective ou conforme est isométrique.

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