La plus petite majorante surharmonique et son rapport avec l'existence des fonctions entières de type exponentiel jouant le rôle de multiplicateurs

Koosis, Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 67-107.

Étant donné une fonction $w\left(x\right)\ge 0$ paire et continue, on se demande si une fonction entière $\varphi \left(z\right)\not\equiv 0$ de type exponentiel $a$ existe telle que $\varphi \left(x\right)\exp w\left(x\right)$ soit borné pour $-\infty <x<\infty$. L’existence d’une telle $\varphi$ est équivalente à celle d’une fonction croissante $\rho \left(t\right)$ sur $[0,\infty )$ telle que $\rho \left(t\right)=\theta \left(t\right)$, que $\frac{\rho \left(t\right)}{t}\to \frac{a}{\pi }$ pour $t\to \infty$, et que $w\left(x\right)+{\infty }_0^{\infty }log|1-\frac{x^2}{t^2}|d\rho \left(t\right)\le C^{\mathrm{te}}$, $x\in \mathbf{R}$, pourvu que $w\left(x\right)$ satisfasse à une condition de régularité assez peu restrictive, décrite au début de l’article. On démontre que l’existence d’une telle $\rho$ est à son tour équivalente à ce que la fonction $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|\Im z\right|}{|z-t{|}^2}w\left(t\right)dt-a\left|\Im z\right|$ admette une majorante surharmonique dans tout le plan complexe, finie en au moins un point de celui-ci. Ce résultat est utilisé pour donner une nouvelle démonstration du théorème de multiplicateur de Beurling et Malliavin, pour obtenir une version quantitative de ce théorème, et pour en retrouver une généralisation aux fonctions $w\left(x\right)$ telle que ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{w\left(x\right)}{1+x^2}dx<\infty$ et que $\frac{w\left(x\right)}{x}$ soit d’énergie finie.

For an even continuous function $w\left(x\right)\ge 0$ we are interested in the possible existence of entire functions $\varphi \left(z\right)\not\equiv 0$ of exponential type $a$ making $\varphi \left(x\right)\exp w\left(x\right)$ bounded on the real axis. If $w\left(x\right)$ has some mild regularity whose nature is described at the beginning of the article, the existence of such a $\varphi$ is equivalent to that of an increasing function $\rho \left(t\right)$ on $[0,\infty )$ with $\rho \left(t\right)=\theta \left(t\right)$, $\frac{\rho \left(t\right)}{t}\to \frac{a}{\pi }$ for $t\to \infty$, and

$$w\left(x\right)+{\infty }_0^{\infty }log|1-\frac{x^2}{t^2}|d\rho \left(t\right)\le \mathrm{const}x\in \mathbf{R}.$$

It is shown that the existence of such a $\rho$ is equivalent to that of a superharmonic majorant on $\mathbf{C}$ for the function

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\left|\Im z\right|}{|z-t{|}^2}w\left(t\right)dt-a\left|\Im z\right|,$$

that superharmonic majorant being finite in at least one point of $\mathbf{C}$. This result is used to give a new proof of the Beurling-Malliavin multiplier theorem, to obtain a quantitative version of the latter, and to prove a new its generalization for functions $w\left(x\right)$ with ${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{w\left(x\right)}{1+x^2}dx<\infty$ and $\frac{w\left(x\right)}{x}$ of finite energy.

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