Description canonique de champs de vecteurs sur une surface

Nordon, Viviane

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4, pp. 151-166.

On étudie dans cet article les champs de vecteurs de classe ${𝒞}^1$ sur les surfaces compactes éventuellement à bord. On montre que si les singularités sont des selles sans liaison entre elles, s’il n’y a pas de feuille compacte intérieure et si le champ est transverse au bord, la surface admet une décomposition canonique. Suivant les cas cette décomposition comporte au plus trois ou quatre composantes. L’une est orientable sans bord, l’une est non orientable sans bord et il reste soit une composante orientable comprenant toutes les composantes du bord soit deux composantes orientables dont l’une a toutes les composantes rentrantes et l’autre toutes les composantes sortantes du bord. Ces composantes de la surface et leur champ sont déterminés et décrits.

${𝒞}^1$ vector-fields on compact two-manifolds with eventually a boundary are studied in this paper. We prove that, if singularities are saddles without separatrices connecting them, if there is no compact inner leaf and if the field is transverse to the boundary, the manifold admits a canonical split. In accordance with different cases the decomposition consists in at most three or four components. There are an orientable boundariless one, a non orientable boundariless one and either an orientable one with all the components of the boundary or two orientable others, one of them having the way-in components of the boundary, the other one having the way-out components of the boundary. These manifold components and the vector fields on them are exposed and described.

[1] G. Levitt, Pantalons et feuilletages des surfaces, Topology, n° 21-1 (1982). | MR | Zbl

[2] Godbillon, Systèmes dynamiques sur les surfaces, publié par l'I.R.M.A. de Strasbourg, p. 137. | Zbl

[3] H. Rosenberg, Labyrinths in the disc and surfaces, à paraître dans Annals of Maths. | Zbl