Courbes corde-arc et espaces de Hardy généralisés

David, Guy

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 3, pp. 227-239.

Étant donné $\Gamma$ une courbe de Jordan rectifiable du plan complexe admettant le paramétrage par la longueur d’arc $z\left(s\right)$, on étudie les relations entre la géométrie de $\Gamma$ et la position dans $L^2\left(\Gamma \right)$ des deux espaces de Hardy associés à $\Gamma$. Plus précisément, on montre que si $L^2\left(\Gamma \right)$ est la somme presque-orthogonale des espaces de Hardy, la courbe $\Gamma$ satisfait à une condition de type corde-arc, c’est-à-dire que pour tout $s$ et tout $t$ de $\mathbf{R}$, $|s-t|\le C\left|z\right(s)-z(t\left)\right|$. Ce résultat est une sorte de réciproque à la généralisation du théorème de Calderón donnée par R.R. Coifman et Y. Meyer en 1979.

For any Jordan curve $\Gamma$ in the complex plane, given by $z\left(s\right)$ with $|z^{\prime }\left(s\right)|=1$, we try to show some connection between geometric properties of $\Gamma$ and the position of the two Hardy spaces associated to $\Gamma$ in $L^2\left(\Gamma \right)$. More precisely, we show that, as soon as $L^2\left(\Gamma \right)$ is the almost-orthogonal sum of these Hardy spaces, the curve $\Gamma$ satisfies a chord-arc condition, i.e. $\mathbf{R}$, $|s-t|\le C\left|z\right(s)-z(t\left)\right|$ for all $s,t$ in $\mathbf{R}$. This result can be seen as a converse to R.R. Coifman and Y. Meyer’s extension of Calderón’s theorem (1979).

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