Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc

Zinsmeister, Michel

doi:10.5802/aif.870

Zinsmeister, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 13-21.

Résumé
Abstract

Soit $Γ$ une courbe de Jordan fermée rectifiable dans le plan de la variable complexe. On dit que $Γ$ véfifie la condition corde-arc si

\exists C > 1, \forall M, N \in Γ, M N \leq C M N

où $M N$ est la longueur du plus petit arc de $Γ$ joignant $M$ et $N$ . Soit $Φ$ une représentation conforme du disque unité $D$ dans l’intérieur de $Γ$ . Nous prouvons que $| Φ^{'} |$ restreint à $\partial D$ appartient à la classe de Muckenhoupt $A^{\infty} (\partial D)$ et nous en tirons certains corollaires. Dans deux cas particuliers nous montrons que le résultat peut être amélioré.

Let $Γ$ be a rectifiable closed Jordan curve of the complex plane. We say that $Γ$ is chord-arc if

\exists C > 1, \forall M, N \in Γ, M N \leq C M N

where $M N$ is the length of the (smallest) subarc of $Γ$ joining $M$ and $N$ . Let $Φ$ be a conformal mapping from the unit disk $D$ to the interior domain of $Γ$ . We prove that $| Φ^{'} |$ , restricted to $\partial D$ belongs to the Muckenhoupt’s class $A^{\infty} (\partial D)$ and state a few corollaries. Then we study two special cases for which the result can be improved.

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DOI : 10.5802/aif.870

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Zinsmeister, Michel. Courbes de Jordan vérifiant une condition corde-arc. Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 13-21. doi : 10.5802/aif.870. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.870/

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