Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques

Cougnard, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 2, pp. 1-12.

Soit $N/\mathbf{Q}$ une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique $G$ d’ordre $n{p}^a$ ($n$ divisant $p-1$ et $a\ge 1$) possédant un sous-groupe distingué d’ordre $p^a$. On note $N_1$ l’unique sous-corps de $N$ de degré $n{p}^{a-1}$ sur $\mathbf{Q}$, $O_N$ (resp. $O_{N_1}$) le clôture intégrale de $\mathbf{Z}$ dans $N$ (resp. $N_1$) et $v$ l’opérateur trace dans l’extension $N/N_1$. On démontre que $O_N/O_{N_1}$ est un module localement libre sur l’anneau $A=Z\left[G\right]/v$. On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de $G$ peut être engendré par la somme de Gauss galoisienne correspondante. On en déduit que le module $O_N/O_{N_1}$ est $A$-libre.

Let $N/\mathbf{Q}$ be a metacyclic extension the Galois group of which is of order $n{p}^a$ ($n$ dividing $p-1$ and $a\ge 1$) and has a normal subgroup of order $p^a$. Let $N_1$ be the subfied of $N$ with degree $n{p}^{a-1}$ over $\mathbf{Q}$, $O_N$ (resp. $O_{N_1}$) the ring of integers of $N$ (resp. $N_1$) and $v$ the trace operator from $N$ to $N_1$. We prove that $O_N/O_{N_1}$ is a locally-free module over the ring $A=Z\left[G\right]/v$. We also prove that the ideal generated by Fröhlich’s resolvents associated to an absolutely irreducible faithful character of $G$ can be generated by the corresponding Galois Gauss sum. We then deduce that $O_N/O_{N_1}$ is $A$-free.

[1] J. Cougnard, Une propriété de l'anneau des entiers des extensions galoisiennes non abéliennes de degré pq des rationnels, Compositio Mathematica, vol. 40, fasc. 3 (1980), 407-416. | Numdam | MR | Zbl

[2] A. Fröhlich, Arithmetic and Galois module structure for tame extensions, J. reine angew. Math., 286/287 (1976), 380-440. | MR | Zbl

[3] A. Fröhlich, Classgroups, in particular Hermitian classgroups (à paraître).

[4] J.-F. Jaulent, Structures galoisiennes dans les extensions métabéliennes, Thèse de 3e cycle (Besançon, 1979).

[5] J. Martinet, Character theory and Artin L-functions. Algebraic Number fields, édité par A. Fröhlich, Academic Press, 1977. | MR | Zbl

[6] L. Reiner, Maximal orders, Academic Press, 1975. | Zbl

[7] M. I. Rosen, Représentations of twisted group rings, Thesis, Princeton University, 1963.

[8] S. M. J. Wilson, Reduced norms in the K-theory of orders, J. of Algebra, 46 (1977), 1-11. | MR | Zbl