Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme

Cassou-Noguès, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 4, pp. 1-35.

Nous étudions les fonctions $p$-adiques associées à des séries du type

$$Z(P,Q,\xi )\left(s\right)=\sum _{n\in {\mathbf{N}}^r}Q\left(n\right){\xi }^{n}P(n{)}^{-s}$$

dans certains cas, où elles admettent un prolongement méromorphe à $C$ avec un nombre fini de pôles et des valeurs aux entiers négatifs algébriques. On retrouve comme cas particulier les fonctions $L$ $p$-adiques des corps totalement réels et les fonctions $\Gamma$-multiples $p$-adiques.

We study $p$-adic functions associated to

$$Z(P,Q,\xi )\left(s\right)=\sum _{n\in {\mathbf{N}}^r}Q\left(n\right){\xi }^{n}P(n{)}^{-s}$$

in some cases, where these series can be continued to $C$ by a meromorphic function, with a finite number of poles, whose values on negative integers are algebraic numbers. We find again $p$-adic $L$-functions of a totally real number field and $p$-adic multiple $\Gamma$-functions.

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