Fonctions définies dans le plan et vérifiant certaines propriétés de moyenne

Yger, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 3, pp. 115-146.

Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant

$$(*)\forall x\in {\mathbf{R}}^2,f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =\pm 1}{{\epsilon }^{\prime }=\pm 1}}f(x+(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\left)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =\pm 1}{{\epsilon }^{\prime }=\pm 1}}f(x+a(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\left)\right).$$

Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\prime }({\mathbf{R}}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière sur cet ouvert l’est en fait partout. Nous étudions également le cas où $a$ est un irrationnel de type constant.

Let $a$ be a real number, $a\in ]0,1[$. We study the following system of convolution equations

$$(*)\forall x\in {\mathbf{R}}^2,f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =\pm 1}{{\epsilon }^{\prime }=\pm 1}}f(x+(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\left)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{\epsilon =\pm 1}{{\epsilon }^{\prime }=\pm 1}}f(x+a(\epsilon ,{\epsilon }^{\prime }\left)\right).$$

We show first that the exponential-solutions of $(*)$ are dense in the set of $C^{\infty }$ solution of $(*)$; the ideal of ${ℰ}^{\prime }({\mathbf{R}}^2)$ which is generated by the Fourier transforms of the two measures linked with that problem is “slowly decreasing”, as Berenstein-Taylor define that notion. When $a$ is not a Liouville number, we show that there is a relatively compact open set $\Omega$ such that every solution of the system $(*)$ in ${ℰ}^{\prime }({\mathbf{R}}^2)$ is regular in ${\mathbf{R}}^2$ when it is $C^{\infty }$ in $\Omega$. We also study the case when $a$ is of constant type.

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