Résidus des connexions à singularités et classes caractéristiques

Lehmann, Daniel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 1, pp. 83-98.

Un “théorème des résidus” est donné, qui exprime les classes caractéristiques réelles de dimension $2k$ d’un fibré principal $C^{\infty }$ à l’aide d’une connexion définie seulement au-dessus d’un voisinage du $(2k-1)$-squelette d’une triangulation de la base. Ce théorème coiffe simultanément la théorie de Chern-Weil, la théorie de l’obstruction modulo torsion, ainsi que des formules du type Riemann-Hurwitz pour les revêtements ramifiés.

A “theorem of residues” is proved, giving the real characteristic classes in dimension $2k$ for a $C^{\infty }$-principal bundle by mean of a connection only defined above a neighborhood of the $(2k-1)$ skeletton of a triangulation of the basis. This theorem covers simultaneously the Chern-Weil theory, the obstruction theory modulo torsion, and formulas of the Riemann-Hurwitz type for branched coverings.

[1] R. Bott, Characteristic classes and foliations, (mimeographied notes by L. Conlon, (1972). | Zbl

[2] S. Chern et J. Simons, Characteristic forms and transgression I, mimeographied notes, Stonybrook Univ., (1972).

[3] W. Greub, S. Halperin et R. Van Stone, Connections, curvature and cohomology, tome I (Ac. Press. 1973).

[4] W. Greub, S. Halperin, R. Van Stone, Connections, curvature and cohomology, tome II.

[5] J.L. Koszul, Homologie et cohomologie des algèbres de Lie, Bulletin de la Soc. Math. de France, (1949). | Numdam | MR | Zbl

[6] D. Lehmann, Résidus des connexions métriques à singularités isolées sur les surfaces, à paraître dans l'Enseignement Mathématique, Genève.

[7] Narasimhan et Ramanan, Existence of universal connections II, Amer. J. of Maths, 85 (1963). | MR | Zbl

[8] J. Simons, Characteristic forms and transgression II : characters associated to a connection, mimeographied notes, Stonybrook Univ., (1972).