Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n{\ell }^s$ sur un corps de nombres algébriques

Jaulent, Jean-François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 31 (1981) no. 1, pp. 39-62.

Soit $N$ une extension cyclique $\ell$-primaire d’un corps de nombres $K$. On suppose que $N$ est métabélienne sur un sous-corps $H$ d’indice $n$ dans $K$, pour un $n$ étranger à $\ell$ ; on note $G$ son groupe de Galois de $T$ un relèvement dans $G$ du quotient Gal$(K/H)$. On étudie la structure galoisienne des groupes de $\ell$-classes de $N$ et on s’intéresse en particulier à leurs $\psi$-composantes, lorsque $\psi$ parcourt le groupe des caractères $\ell$-adiques irréductibles de $T$. Le choix d’un générateur convenable $\theta$ dans l’idéal d’augmentation de l’algèbre ${\mathbf{Z}}_{\ell }\left[\mathrm{Gal}\right(N/K\left)\right]$ permet de mettre en évidence que les écarts entre les ordres respectifs de ces composantes s’expriment très simplement à l’aide des nombres de $\psi$-classes invariantes et des $\psi$-parties du nombre de genres de l’extension $N/K$. On détermine donc ces quantités et on montre enfin comment les indices d’unités qui interviennent dans la formule obtenue gouvernent directement la $\ell$-structure galoisienne du groupe des unités de $N$.

Let $N$ be a cyclic $\ell$-extension of a number field $K$. We suppose that $N$ is normal over a subfield $H$ of $K$, with metabelian Galois group. We study the Galois structure of the $\ell$-class groups of $N$ and especially the $\psi$-eigenspaces of these groups, for every $\ell$-adic character of Gal$(K/H)$. By choosing a convenient generator $\theta$ in the augmentation ideal of the group ring ${\mathbf{Z}}_{\ell }\left[\mathrm{Gal}\right(N/K\left)\right]$, we prove that the difference between the orders of two $\psi$-components is directly connected with $\psi$-parts of the genus number and of the ambiguous class number of $N/K$. So, we compute these quantities and show how the unit indices, which appear in the class number formula, are related with the Galois module structure of the unit group.

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