The class group of a one-dimensional affinoid space

Put, Marius Van Der

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 155-164.

Une courbe $X$ sur un corps valué ultramétrique est, pour sa structure analytique, une réunion finie d’espaces affinoïdes. On démontre que le groupe des classes d’un espace affinoïde $Y$, $Y$ connexe régulier et de dimension 1, est trivial si et seulement si $Y$ est un sous-espace de $P^1$. Par conséquent, le groupe des classes est localement trivial sur $X$ si et seulement si la réduction stable de $X$ n’a que des composantes rationnelles.

A curve $X$ over a non-archimedean valued field is with respect to its analytic structure a finite union of affinoid spaces. The main result states that the class group of a one dimensional, connected, regular affinoid space $Y$ is trivial if and only if $Y$ is a subspace of ${\mathbf{P}}^1$. As a consequence, $X$ has locally a trivial class group if and only if the stable reduction of $X$ has only rational components.

[1] A. Escassut, Éléments spectralement injectifs et générateurs universels dans une algèbre de Tate, Memoria publicada en Collectanea Mathematica vol. XXVIII, fasc. 2 (1977), 131-148. | MR | Zbl

[2] L. Gerritzen, M. Van Der Put, p-adic Schottky groups and Mumford curves, forthcoming in Lecture Notes in Math.

[3] M. Van Der Put, Schottky groups and Schottky curves, Algebraic Geometry, 1978, Lecture Notes in Math., 732, 518-526. | MR | Zbl